4.5.5. Умови збіжності процесу Зейделя

Процес Зейделя для лінійної системи так , як і процес послідовних наближень, збігається до єдиного розв’язку при будь–якому виборі початкового наближення, якщо хоч би одна із норм матриці менше одиниці.

Процес Зейделя часто збігається до єдиного розв’язку швидше ніж метод процесу простої ітерації.

Приклад 2. Перевірити чи збігається процес Зейделя для системи, яка розглянута в прикладі 1.

Розв’язання

1) Після приведення системи до нормального виду отримаємо матрицю

2) Знайдемо Отже, процес ітерації для даної системи збігається до єдиного розв’язку, не дивлячись на те, що

Оцінювання похибки процесу Зейделя.

Нехай дана лінійна система . Якщо – точні значення її невідомих, а –е наближення, обчислене за методом Зейделя, то для оцінювання похибки цього методу застосовується формула

(4.57)

Приклад. Підрахувати, скільки ітерацій за методом Зейделя необхідно виконати, щоб з точністю до 10^–4 знайти розв’язок системи

Розв’язання. 1) Приведемо систему до нормального вигляду:

2) За нульові наближення приймемо стовпчик вільних членів і обчислюємо перші наближення:

3) Матриця

Отже, Оскільки

і то

4) за формулою (4.57) визначаємо k:

аналогічно можна виконувати оцінювання методу Зейделя за нормою .

4.5.6. Приведення системи лінійних рівнянь до вигляду, зручного для ітерацій

Процеси послідовних наближень і Зейделя для лінійної системи збігається до єдиного розв’язку незалежно від вибору початкового вектора, якщо

Отже, для збіжності вищевказаних ітераційних процесів достатньо, щоб значення елементів матриці при були невеликими за абсолютною величиною. Це рівнозначно тому, що якщо для лінійної системи модулі діагональних коефіцієнтів кожного рівняння системи більше суми модулів всіх наступних коефіцієнтів (не враховуючи вільних членів), то ітераційні процеси для цієї системи збігаються, тобто якщо дана система , причому , то процеси простої ітерації і Зейделя для цієї системи збігаються [4].

Застосовуючи елементарні перетворення, лінійну систему можна замінити такою еквівалентною системою , для якої умови збіжності будуть виконані.

Приклад. Привести до виду, зручного для ітерацій, таку систему

Розв’язання

1) із заданої системи виділяємо рівняння з коефіцієнтами, модулі яких більші суми модулів наступних коефіцієнтів системи. Кожне виділене рівняння вписуємо в такий рядок нової системи, щоб найбільший за модулем коефіцієнт виявився діагональним.

В рівнянні (Б) коефіцієнт при за модулем більше суми модулів наступних коефіцієнтів. Приймаємо рівняння (Б) за друге рівняння нової системи:

2) із залишених невикористаних рівнянь системи утворюємо лінійно незалежні між собою комбінації. Так, за перше рівняння нової системи можна взяти лінійну комбінацію (2В)+(А), тоді матимемо

(I)

За третє рівняння нової системи можна прийняти лінійну комбінацію (2А)–(Б), тобто

(ІІІ)

3) В результаті отримаємо перетворену систему лінійних рівнянь (І), (ІІ), (ІІІ), еквівалентну вихідній і задовольняє умови збіжності ітераційного процесу:

Приводячи цю систему до нормального вигляду, отримаємо

Тепер слід лише розв’язати систему одним з ітераційних методів.