4.4.6. Метод квадратних коренів

Цей метод використовують для знаходження розв’язку СЛАР

(4.38)

в якій матриця симетрична, тобто елементи, симетричні відносно головної діагоналі, рівні між собою: [1]. Відомо, що симетричну матрицю А завжди можна подати у вигляді добутку двох взаємно транспонованих трикутних матриць

(4.39)

де

Якщо тепер перемножити матриці і Т, а потім прирівняти відповідні елементи матриць у рівності (4.39), то для знаходження елементів матриці Т дістанемо систему рівнянь:

З цієї системи знаходимо послідовно елементи матриці Т (і ). Маємо

(4.40)

З рівності (4.38) випливає, що система (4.38) рівносильна двом системам рівнянь з трикутними матрицями і .

Розв’язавши систему з нижньою трикутною матрицею , знайдемо

(4.41)

Розв’язавши потім систему з верхньою трикутною матрицею Т, знайдемо шуканий розв’язок системи (4.38)

(4.42)

Всі обчислення за формулами (4.40)–(4.42) доцільно виконувати за спеціальною схемою (табл. 4.10), в якій забезпечується проміжний і заключний контролі введенням контрольних і рядкових сум. У методі квадратних коренів, як і в методі Гаусса, поряд з системою (4.40) одночасно розв’язують допоміжну систему

(4.43)

Таблиця 4.10

Крок перетво-рення	Ря­- док	Коефіцієнти при змінних				Вільний член	Контроль
							Конт–рольна сума	Рядко–ва сума
1	2	3	4
1	1 2
2
3		1	1		1

Системи (4.38 і 4.43) мають однакову матрицю коефіцієнтів А, але різні вільні члени: в системі (4.38) – це числа , а в системі (4.43) – числа

(4.44)

Розв’язки цих систем зв’язані співвідношенням:

(4.45)

Оскільки система (4.43) рівносильна двом системам з трикутними матрицями то елементи вектора обчислюють за формулами

(4.46)

а елементи вектора

(4.47)

Поточний контроль здійснюють порівнянням контрольних сум (стовпець ) з розрядковими сумами (стовпець ), які обчислюють за формулами

(4.48)

Якщо обчислення виконано правильно, то суми збігаються, або внаслідок округлення проміжних обчислень відрізняються між собою на 1–2 одиниці молодшого розряду. Всі проміжні обчислення доцільно виконувати з 1–2 запасними цифрами.

Заключний контроль, як і у методі Гаусса, можна здійснити двояко. Або перевірити виконання рівностей (4.45), або (і) обчислити непогодження, підставивши знайдений розв’язок у систему (4.38).

Розрахункова таблиця 4.10 складається з трьох частин. У першій частині записано коефіцієнти і вільні члени системи (4.38), а також обчислені за формулами (4.44) контрольні суми (рядкові суми можна не записувати, бо вони збігаються з контрольними); у другій – знайдені за формулами (4.40 коефіцієнти матриці Т, обчислені за формулами (4.41 і 4.46) вектори і , а також обчислені за формулами (4.48) рядкові суми ; у третій – обчислені за формулами (4.42) і (4.47) вектори і . Дві перші частини – прямий хід, а третя – зворотний.

Приклад. Методом квадратних коренів розв’язати систему рівнянь

(4.49)

коефіцієнти і вільні члени якої точні числа.

Розв’язання. Всі проміжні обчислення виконуємо з шістьма десятковими знаками, а остаточний результат подамо з п’ятьма десятковими знаками.

Прямий хід. Спочатку в перші три рядки табл. 4.11 заносимо коефіцієнти системи (4.49), а в 7–й стовпець заносимо суми коефіцієнтів

Таблиця 4.11

1	2	3	4	5	6	7	8
1	1 2 3	3 ,45	0 ,78 2 ,63	–0,97 –0,89 2,41	3,229 4,026 5,030	6,489 6,546 5,580
2	4 5 6	1,857418	0 ,419938 1,566414	–0,522230 –0,428173 1,397835	1,738435 2,104147 4,892424	3,493559 3,242388 6,290259	3,493561 3,242388 6,290259
3	7 8 9	1	1	1	3,500001 2,300000 1,399999	4,500001 3,300000 2,399998	4,500001 3,300000 2,399999

і вільних членів кожного рядка (контрольні суми), обчислені за формулами (4.44). Далі переходимо до обчислення за формулами (4.40) елементів матриці Т. Для ці формули набирають вигляду

За цими формулами знаходимо:

Якщо то з формул (4.41) і (4.46) для обчислення елементів векторів і дістаємо

Звідси маємо

Поточний контроль здійснюємо, порівнюючи значення контрольних (стовпець 7) і рядкових (стовпець 8) сум. Рядкові суми обчислюють за формулами (4.48), які для набирають вигляду

Найбільша розбіжність між контрольною і рядковою сумами дорівнює двом одиницям шостого десяткового розряду, що є результатом округлення проміжних результатів і цілком допустимо.

Зворотний хід. З формул (4.42) і (4.47) для обчислення елементів векторів і для дістаємо

Користуючись цими формулами, знаходимо

Контроль обчислень здійснюємо перевіркою співвідношень (4.44).

Всі обчислення заведемо в табл. 4.11.

З табл. 4.11 видно, що з точністю до , Підставивши ці значення в систему (4.49) впевнимось, що вони задовольняють систему точно, адже відповідні непогодження дорівнюють нулю.