4.4.5. Схема Халецького

Нехай система лінійних рівнянь дана в матричному вигляді

(4.27)

де – квадратна матриця порядку , – вектори–стовпці.

Представимо матрицю А в вигляді добутку нижньої трикутної матриці із з'єднаною діагоналлю, тобто

(4.28)

де

і елементи та визначають за формулами

при (4.29) при (4.30)

Рівняння (4.27) можна записати в такому вигляді:

(4.31)

Добуток є вектором–стовпцем, котрий позначимо через у:

(4.32)

Тоді рівняння (4.33) перепишемо у вигляді

(4.33)

або (4.33')

Тут елементи відомі, тому що матриця А системи (4.29) вважається вже розкладеною на добуток двох трикутних матриць С и В [формули (4.29) і (4.30)].

Перемноживши матриці в лівій частині рівності (4.33'), одержуємо систему рівнянь

(4.34)

звідки одержуємо такі формули для визначення невідомих:

(4.35)

Невідомі зручно обчислювати разом з елементами .

Після того як всі визначені за формулами (4.35), підставляємо їх у рівняння (4.32):

Помноживши, одержимо систему

(4.36)

Оскільки коефіцієнти визначені [див. формулу (4.30)], то значення невідомих, починаючи з останнього, обчислюємо за такими формулами:

(4.37)

Цей метод одержав назву схема Халецького. У схемі застосовується звичайний контроль за допомогою сум [1 – 4]. Під час розв’язання рів­нянь за схемою Халецького зручно користуватися таблицею 4.9.

Таблиця 4.9

					Вільні члени						Вільні члени
І
ІІ	1	1	1	1			1 1 2 4 2	2 - 1 1 - 3 -1	-1 -1 - 2 1 - 1	2 0 0 - 1 1	4 2 -1 1	8 2 0 2
ІІІ							-1	1	-1	1

Приклад. Використовуючи схему Халецького, розв’язати систему

Розв’язання

В І розділ таблиці вписуємо матрицю коефіцієнтів, її вільні члени і контрольні суми.

Далі заповнюємо розділ II за правилом, тобто спочатку знайдемо 1–й стовпець матриці С, потім 2–й рядок матриці В, 2–й стовпець матриці С, 3–й рядок матриці В тощо.

У розділі ІІІ визначаємо .

Поточний контроль здійснюється за допомогою стовпця ∑, над яким виконуються ті ж дії , що і над стовпцем вільних членів.

1. Елементи 1–го стовпця матриці С знаходимо за формулою

Далі переписуємо 1–й стовпець розділу І у 1–й стовпець розділу ІІ:

2. Елементи 1–го рядка матриці В знаходимо за формулою

тобто

3. Елементи 2–го стовпця матриці В знаходимо за формулою

тобто

4. Елементи 2–го рядка матриці В знаходимо за формулою

5. Елементи 3–го стовпця матриці С знаходимо за формулою

тобто

6. Елементи 3–го рядка матриці В знаходимо за формулою

тобто

7. Елементи 4–го стовпця матриці С знаходимо за формулою

тобто

8. Елементи 4–го рядка матриці В знаходимо за формулою

тобто

9. Обчислюємо за формулою

де

Маємо:

Отже,