1.2. Структура похибки розв’язку задачі

Побудувавши математичну модель, намагаються знайти її розв'язок. Для складних прикладних задач, як правило, не існує точного розв'язку у вигляді явних формул або скінченної послідовності арифметичних операцій, кожна з яких виконується точно. В таких випадках застосовують потужний математичний засіб розв’язування задач – чисельні методи. Найпростіші чисельні методи виникли і широко використовувалися задовго до появи ЕОМ. Але є багато прикладних задач, для яких знайти розв'язок без застосування комп’ютерів практично неможливо. Сучасні швидкодіючі обчислювальні машини стали стимулом для розробки нових чисельних методів.

Але слід пам’ятати, що застосовувати чисельні методи для розв'язування прикладних задач на базі комп’ютерів треба обережно, оскільки точність розв'зування залежить від багатьох факторів. При цьому важливішим питанням є вміння правильно оцінити похибку обчисленого розв'язку.

Похибка розв'язку задачі складається з [1]:

• похибки математичної моделі;

• неусувної похибки;

• похибки методу;

• обчислювальної похибки.

Похибка математичної моделі обумовлена тим, що модель описує явище наближено, з припущеннями і спрощеннями. І для того, щоб спростити побудову математичної моделі треба мати уявлення про точність кінцевого результату.

Неусувна похибка зумовлена похибками у вхідних даних задачі і залежить від методу розв'язування задачі. Але, щоб правильно обрати метод і визначити точність обчислень, важливо знати межі неусувної похибки.

Похибка методу пов'язана з необхідністю заміни неперервної моделі дискретною або із завершенням нескінченного ітераційного процесу після скінченної кількості ітерацій. Наприклад, нехай на відрізку [а;b] треба знайти розв'язок задачі Коші [1]

(1.1)

Знайти чисельно розв'язок в усіх точках відрізка [а;b] неможливо, оскільки їх безліч. Тому на відрізку [а;b] беруть скінченну кількість точок і лише в них знаходять значення . Початкове значення нам відоме. Для знаходження інших значень диференціальне рівняння розглядають не на всьому відрізку [а;b], а тільки в зазначених точках у'(х_i) = .

Замінивши похідну у'(х) її наближеним значенням дістають систему рівнянь

(1.2)

Звідси послідовно знаходять

Якщо у рівняння (1.2) замість у_і, і у_і+1 підставити точні значення розв'язку у(х_і), то рівності задовольняться лише наближено.

Похибка, що виникає під час заміни неперервної моделі дискретною, називають похибкою дискретизації (або похибкою апроксимації).

Крім похибки дискретизації, є інший тип похибки чисельних методів. В основі багатьох методів покладено ідею ітераційного процесу, в ході якого за певним правилом будується послідовність наближень до розв'зування задачі. Якщо ця послідовність має границю, коли кількість членів послідовності наближається до нескінченності – ця границя є розв'язком даної задачі. Але на комп’ютері можна обчислити тільки скінченну кількість членів послідовності. Похибку, обумовлену обривом ітераційного процесу, називають похибкою збіжності. Похибку методу намагаються звести до величини, яка в кілька разів менша за похибку вхідних даних [1].

Отже, похибку чисельного методу можуть утворювати похибки дискретизації або похибки збіжності, або ж для деяких методів обидва типи похибок одночасно. Всі ці похибки, а також методи їх аналізу і регулювання розглядаються при побудові конкретних чисельних методів.

Обчислювальні похибки пов'язані з похибками округлення чисел. Будь–які обчислення виконують з певною кількістю значущих цифр. Це вносить в результат похибку округлення, яка нагромаджується в ході обчислень. Похибки округлення можуть по–різному впливати на кінцевий результат. В результаті виконання мільйонів операцій, кожна з яких вносить невелику похибку, сумарна похибка округлень може значно перевищити шуканий результат обчислень. Але в окремих операціях похибки округлень можуть мати різні знаки і частково компенсувати одна одну. Тому, якщо немає систематичних причин, випадкове нагромадження похибок округлення незначне [2, 4, 10].

Систематичною причиною нагромадження похибок є, наприклад, віднімання близьких за значеннями чисел, оскільки при малій абсолютній похибці чисел і відносна похибка результату може стати великою [4].

Обчислювальні похибки виникають і під час перетворення чисел з однієї системи числення в іншу, якщо основа однієї системи числення не є степенем основи іншої. Це може привести до того, що в новій системі числення число стане ірраціональним.

Втрата точності може виникнути і під час додавання до великого числа дуже малих чисел. Для зменшення похибки, додавати числа слід в порядку їх зростання. У машинній арифметиці комутативний і дистрибутивний закони алгебри не завжди виконуються. Обчислювальний алгоритм треба будувати так, щоб похибка округлень була значно меншою за усі інші похибки [1, 4].