4.4.3. Метод головних елементів
Задачі і приклади попереднього параграфа розв’язуються порівняно просто. У випадку, коли коефіцієнтами системи рівнянь є дробові числа або числа, досить великі за абсолютною величиною, обчислення ускладнюються. Щоб спростити їх і мати можливість контролювати обчислення, застосовують трохи видозмінений метод Гаусса.
Нехай дана СЛАР у матричному вигляді
,
(4.16)
де
,
,
.
(4.17)
Метод Гаусса з вибором головного елементу полягає в такому. У системі (4.16) вибирають спочатку рівняння, у якому міститься найбільший за абсолютною величиною коефіцієнт системи (головний елемент), і ділять дане рівняння на цей коефіцієнт. Після цього так само, як і в найпростішій схемі методу Гаусса, виключають з інших рівнянь ту невідому, при якій був найбільший коефіцієнт в обраному рівнянні (для зручності головний елемент можна розташувати в перший рядок і перший стовпець матриці, над якою проводяться відповідні перетворення). Далі, залишаючи незмінним рівняння з головним елементом шукають найбільший за абсолютною величиною коефіцієнт в інших рівняннях (новий головний елемент), ділять на нього рівняння, у якому він знаходиться, і виключають з інших рівнянь відповідну невідому тощо, поки не залишиться одне рівняння з одним невідомим, тобто поки система (4.16) не буде приведена до діагонального вигляду.
Щоб не зробити помилок, можна застосовують контрольні обчислення. Для цього діють таким чином. Роблять заміну
,
(4.18)
де
,
,
,
(4.19)
тобто
,
(4.20)
в результаті чого приходять до нової системи
;
,
(4.21)
де
,
.
(4.22)
Одночасно розв’язуючи системи (4.16), (4.21), приводять їх до діагонального вигляду, всі обчислення заносять у таблицю, контролюють їх за допомогою чисел контрольного стовпця як показано в прикладі.
Приклад. Розв’язати систему рівнянь
.
Застосовуємо схему з вибором головного елементу (у даному випадку головним елементом є коефіцієнт 1,28). Складемо таблицю, у якій i означає номер рядка (у першому вертикальному стовпці), k – номер невідомої (в останньому рядку), b – вектор, координати якого складені з вільних членів системи, – вектор, координати якого дорівнюють сумам усіх коефіцієнтів і вільних членів відповідних рівнянь (кожен елемент останнього стовпця дорівнює сумі чисел, що стоять у відповідному рядку: 1,28+0,21+0,6+0=2,09) (табл. 4.1.).
Таблиця 4.1.
i |
A |
b |
|
||
1 2 3 |
1,28 0,35 0,6 |
0,21 0,6 0,75 |
0,6 1 0,52 |
0 1 0 |
2,09 2,95 1,87 |
k |
3 |
2 |
1 |
|
|
Перше рівняння ділимо на 1,28 (головний елемент) і виключаємо х3 із двох інших рівнянь (табл.4.2.). У табл. 4.2. останній стовпець служить для контролю обчислень (його члени дорівнюють сумам елементів другого, третього, четвертого і п'ятого стовпців: 1 + 0,164 + 0,469 + + 0 =1,633).
Елементи передостаннього стовпця отримані в результаті перетворень над матрицею системи (4.16.), наприклад, 1,663 = 2,09 / 1,28. Оскільки значення елементів двох останніх стовпців збігаються (їх елементи виходять за різними діями), обчислення зроблені правильно.
Розглядаємо два рівняння, що залишилися, вони не містять x3; у матриці, що складена з їхніх коефіцієнтів, вибираємо новий головний елемент (він дорівнює 0,836), ділимо на нього друге рівняння і виключаємо x1 з останнього рівняння (табл. 4.3).
Таблиця 4.2
i |
А |
|
|
|
||
1 2 3 |
1 0 0 |
0,164 0,543 0,652 |
0,469 0,836 0,239 |
0 1 0 |
1,633 2,379 0,890 |
1,633 2,379 0,891 |
k |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
Таблиця 4.3
i |
А |
|
|
|
|
2 3 |
0,836 0,239 |
0,543 0,652 |
1 0 |
2,379 0,891 |
|
k |
1 |
2 |
|
|
|
2 3 |
1 0 |
0,650 0,497 |
1,196 –0,286 |
2,846 0,210 |
2,846 0,211 |
Отже, вихідна система і відповідна їй система (4.21) приведені до діагонального вигляду, причому
Розв’язавши
ці системи, знаходимо:
,
,
;
,
,
.
Отже, вихідна система має розв’язок:
,
,
;