4. Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

У загальному вигляді система т лінійних рівнянь з п невідомими записується так:

(4.1)

Числа х₁, х₂, ..., х_п називаються невідомими системи; a₁₁, a₁₂, ..., а_тп – коефіцієнтами при невідомих системи. Коефіцієнт при невідомому x_ij в i–тому рівнянні позначається через а_ij, де індекс i вказує номер рівняння, у якому знаходиться даний коефіцієнт, а індекс j – номер невідомого, при якому знаходиться даний коефіцієнт. Числа b_l, b₂,…,b_m називаються вільними членами системи [1 – 4].

Коротко система (4.1) може бути записана так:

(4.1')

Розв’язком системи лінійних рівнянь (4.1) є будь–яка сукупність чисел a_l, а₂,..., а_п, котра при підстановці на місце невідомих х₁, х₂, ..., х_п у рівняння даної системи, перетворює всі ці рівняння у тотожності.

Система лінійних рівнянь (4.1) є сумісною, якщо вона має розв’язок, в протилежному випадку вона є несумісною (або суперечливою). Сумісна система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) може мати один або кілька розв’язків і називається визначеною, якщо має один єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо має більше одного розв’язку [1-5].

Дві СЛАР з тим самим числом невідомих є еквівалентними, якщо вони або обидві несумісні, або сумісні і мають той самий розв’язок.

Елементарними перетвореннями СЛАР називаються такі три типи перетворень: 1) перестановка двох рівнянь системи; 2) множення обох частин рівняння системи на будь–яке відмінне від нуля число; 3) додавання (віднімання) до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на будь–яке число.

Елементарні перетворення над будь-якою СЛАР переводять її в еквівалентну. Виконання елементарних перетворень рівнозначне вираженню одного невідомого через інші. Система, у якій вільні члени b_l, b₂,…,b_m дорівнюють нулю, називається однорідною.

Звернемо увагу на ще одне важливе питання. У процесі вирішення різних питань техніки, економіки тощо доводиться розв’язувати СЛАР. У таких системах коефіцієнти і вільні члени є наближеними, що приводить до появи додаткових, неусувних похибок, котрі слід враховувати як у процесі обчислень, так і в остаточному округленні результату [1].

Коефіцієнти СЛАР, які виникають під час обробки результатів, містять помилки спостережень. Якщо СЛАР записати у пам’ять комп’ютера навіть точно, то обчислення приводить до похибок округлення. Проте, якщо матриця системи (4.1) майже вироджена – можна сподіватись, що малі зміни в коефіцієнтах і (або) вільних членах також призведуть до значних змін у її розв’язку.

Якщо малі збурення коефіцієнтів і (або) вільних членах СЛАР дуже збурюють її розв’язок – то таку систему називають погано обумовленою [1]. Якщо ж розв’язок збурюється незначно – СЛАР називають добре обумовленою.

Ознакою поганої обумовленості СЛАР є її майже виродженість (коли значення визначника системи наближається до нуля).

4.1. Теорема Кронекера – Капеллі

Нехай дана система лінійних рівнянь

(4.2)

Для встановлення умови сумісності цієї системи необхідно ввести поняття матриці системи і розширеної матриці системи.

Матрицею системи (4.2) називається матриця, складена з коефіцієнтів при невідомих цієї системи:

Якщо приєднати до матриці А стовпець вільних членів – отримаємо розширену матрицю Ā системи (4.2):

З визначення матриці системи А і розширеної матриці Ā зрозуміло, що їх ранги r(Ā) і r(А) або рівні між собою, або ранг r(Ā) на одиницю більший, ніж r(А).

Питання про сумісність системи (4.1) вирішується за допомогою теореми Кронекера–Капеллі: система лінійних рівнянь (4.1) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг розширеної матриці A дорівнює рангові матриці А, тобто коли r(Ā) = r(A).

Наслідок 1. Якщо система (4.2) сумісна і ранг матриці системи r(А)=r дорівнює числу невідомих п, то система має єдиний розв’язок.

Наслідок 2. Якщо система (4.2) сумісна і ранг матриці системи r(А)=r менший за число невідомих п, то система має незліченну кількість рішень.