Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
матан1.docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
523.06 Кб
Скачать

§4. Вычисление двойного интеграла (переход к повторному).

Рассмотрим ограниченную замкнутую область D , обладающую следующим свойством: любая прямая пересекает ее границу не более, чем в двух точках. Такие области будем называть ‘правильными’ относительно оси OY (аналогично по оси OX). На рис.3: D1 − ‘правильная’ по обеим осям, D2 − ‘неправильная’ по оси OY и ‘правильная’ по оси OX. Обозначим через a и b , соответственно, наименьшую и наибольшую абсциссы области D . Пусть и нижняя и верхняя границы области D (рис.4).

Теорема. Пусть функция

1)интегрируема по области D;

2)

В этом случае функция интегрируема по х на отрезке [a,b], причем

{

Зафиксируем произвольное значение и проведем

сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси OZ, проходящей

через прямую . Пусть − площадь сечения.

Тогда и по условию этот интеграл существует. Объем цилиндра по площадям поперечных сечений равен Так как он равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D, то получаем наше утверждение.}

Рассмотренное представление интеграла называют переходом к повторному. В таком представлении числа а и b называют внешними пределами, а хвнешней переменной.

С оответственно, пределы и переменную увнутренними.

НЕОБХОДИМЫЕ ПРИЗНАКИ ПРАВИЛЬНО РАССТАВЛЕННЫХ ПРЕДЕЛОВ:

  1. Внешние пределы всегда постоянны.

  2. Внутренние пределы постоянны только для координатного прямоугольника.

  3. Внутренние пределы могут зависеть только от внешней переменной.

  4. Если верхняя или нижняя граница не записывается одной формулой, то двойной интеграл нельзя представить в виде одного повторного с внешней переменной х. Аналогичное утверждение имеет место для левой или правой границы и внешней переменной у.

§5. Замена переменных в двойных интегралах.

Ограничимся геометрическим обоснованием формулы замены переменных в двойном интеграле.

Вспомним сначала геометрический смысл замены переменной в однократном интеграле:

На плоскости XOY (т.е. в исходном интеграле) величина dx – элемент длины основания ступенчатой фигуры. На плоскости TOX при разбиении отрезка элементу длины dx соответствует величина .

Рассмотрим теперь двойной интеграл по области D и перейдем на плоскость , сделав невырожденное преобразование

(указанное преобразование переводит область в область D).

Произведение dxdy представляет собой элемент площади основания цилиндра – прямоугольник в

области D. В области ему соответствует криволинейный ‘параллелограмм’, площадь которого

(с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости) равна площади

параллелограмма, построенного на векторах, касательных к его сторонам (рис.5). В свою очередь, этими касательными являются векторы , а площадь параллелограмма – модулю их векторного произведения (см. курс аналитической геометрии) :

; ( якобиан преобразования). Таким образом, окончательно имеем:

− формула замены переменных в двойных интегралах.