5. Равновесие системы сходящихся сил

Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил (см. п. 4) были равны нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или в аналитической форме.

1. Геометрическое условие равновесия. Так как главный вектор системы сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил (см. рис. 6), то может обратиться в нуль только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой силы, т. е. когда многоугольник замкнется.

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым.

2. Аналитические условия равновесия. Аналитически модуль главного вектора системы сил определяется формулой

.

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то обратится в нуль только тогда, когда одновременно R_x=0, R_y=0, R_z=0, т.е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

F_kx=0, F_ky=0, F_kz=0.

Данные три равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия:

F_kx=0, F_ky=0.

Рис. 7

3. Теорема о трех силах. При решении задач статики иногда удобно пользоваться следующей теоремой (рис. 7): если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

6. Момент силы относительно центра (или точки)

Введем важное понятие о моменте силы относительно точки. Точку, относительно которой берется момент, называют центром момента, а момент силы относительно этой точки – моментом относительно центра. Если под действием приложенной силы тело может совершать вращение вокруг некоторой точки, то момент силы относительно этой точки будет характеризовать вращательный эффект силы.

Рис. 8

Рассмотрим силу , приложенную к телу в точке A (рис. 8). Из некоторого центра О опустим перпендикуляр на линию действия силы ; длину h этого перпендикуляра называют плечом силы относительно центра О. Момент силы относительно центра О определяется: 1) модулем момента, равным произведению Fh; 2) положением в пространстве плоскости ОАВ («плоскости поворота»), проходящей через центр О и силу ; 3) направлением поворота в этой плоскости.

Из геометрии известно, что положение плоскости в пространстве определяется направлением нормали (перпендикуляра) к этой плоскости. Таким образом, момент силы относительно центра характеризуется не только его числовым значением, но и направлением в пространстве, т. е. является величиной векторной.

Введем следующее определение: моментом силы относительно центра О называется приложенный в центре О вектор , модуль которого равен произведению модуля F силы на ее плечо h и который направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки (рис. 8). Согласно этому определению

.

Последний результат следует из того, что площадь треугольника S_AOB=AB·h/2=Fh/2. Измеряется момент силы в ньютон-метрах (H·м).

Найдем формулу, выражающую вектор . Для этого рассмотрим векторное произведение векторов и . По определению

.

Направлен вектор перпендикулярно плоскости ОАВ в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение с (если их отложить от одной точки) видно происходящим против хода часовой стрелки, т. е. так же, как вектор . Следовательно, векторы и совпадают и по модулю, и по направлению, и, как легко видеть, по размерности, т. е. выражают одну и ту же величину. Отсюда

= или ,

где – радиус-вектор точки A, проведенный из центра О.

Таким образом, момент силы F относительно центра О равен векторному произведению радиуса-вектора , проведенного из центра О в точку А, где приложена сила, на саму силу. Этот результат может служить другим определением понятия о моменте силы относительно центра.

Отметим следующие свойства момента силы: 1) момент силы относительно центра не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия; 2) момент силы относительно центра О равен нулю или когда сила равна нулю, или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).