19. Теоремы об изменении момента количества движения точки и механической системы (теорема моментов)

В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движения точки вместо самого вектора количества движения рассматривают его момент относительно некоторого центра или оси.

Эти моменты определяются так же, как и моменты силы:

,

где – радиус-вектор движущейся точки, проведенный из центра О.

При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через mv и центр О, a (рис. 19); для сравнения на нем показан и вектор .

Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси Оz, проходящей через центр О, будет равен проекции вектора на эту ось:

,

где  – угол между вектором и осью Оz.

Рис. 19

Математически теорему моментов относительно центра можно записать следующим образом: или , т.е. производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь

неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Если спроектировать обе части последнего равенства на какую-нибудь ось Оz, проходящую через центр О, получим теорему моментов относительно оси:

.

Главным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно данного центра О называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра:

.

Главный момент количеств движения (кинетический момент) системы может рассматриваться как характеристика ее вращательного движения.

Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела:

K_z=J_z.

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной и той же оси, то

K_z=J_1z₁+ J_2z₂+…+ J_nz_n.

Теорема моментов для системы математически записывается следующим образом:

,

т.е. производная по времени от главного момента количеств движения системы, относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

20. Работа силы. Мощность

Элементарной работой силы , приложенной в точке М (рис. 20), называется скалярная величина

dA=F_ds,

где F_ – проекция силы F на касательную М к траектории точки М, направленную в сторону перемещения этой точки (или проекция на направление скорости точки М); ds – модуль элементарного перемещения точки М.

Рис. 20

Такое определение соответствует представлению о работе как о мере того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. Замечая, что F=Fcos, где  – угол между и М, получим другое выражение для dA: dA=Fdscos. Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда составляющая

направлена в сторону движения (сила ускоряет движение); работа отрицательна, когда составляющая направлена противоположно направлению движения (сила замедляет движение).

Если учесть, что , где – вектор элементарного перемещения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство выражение элементарной работы можно представить в виде

,

то есть элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁ (рис. 20) вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных работ

.

Следовательно, работа силы на любом перемещении M₀M₁ равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках М₀ и M₁ (точнее говоря, интеграл берется вдоль кривой M₀M₁, т. е. является криволинейным).

Единицей измерения работы является в СИ – 1 джоуль (1 Дж=1 Н·м=1 кг·м²/с²).

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность N=A/t₁, где t₁ – время, в течение которого произведена работа А. В общем случае

N=dA/dt=F_ds/dt=F_v.

Следовательно, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость.

Единицей измерения мощности в СИ является ватт (1 Вт=1Дж/с). В технике за единицу мощности часто принимается лошадиная сила (1 л.с.=736 Вт).

Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт·час (1 кВт·ч=3,6·10⁶ Дж).

Из равенства N=F_v видно, что у двигателя, имеющего данную мощность N, сила тяги F_ будет тем больше, чем меньше скорость v. Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и развивать большую силу тяги.