Оценка сложных систем в условиях определенности
Теория систем основным объектом исследования, как правило, имеет сложные системы. Напомним, что под сложными понимаются системы, которые можно расчленить на конечное количество подсистем. Подсистемы в свою очередь могут быть разбиты на еще более мелкие подсистемы и т.д. до элементарных составляющих. Таким образом, любая сложная система имеет древовидную, иерархическую структуру. Все элементы сложных систем находятся во взаимодействии друг с другом (внутренняя среда) и с элементами и факторами внешней среды.
Результатом жизнедеятельности системы может быть совершенно определенный (детерминированный) исход. Так, например, изменения количества сотрудников детерминировано отразится на величине налогов, начисляемых на выплачиваемую заработную плату; увеличение НДС коррелирует с серыми схемами расчетов; продолжительный период морозов вызывает увеличение потребления энергоресурсов; наступление летнего сезона увеличивает спрос на вентиляторы и кондиционеры и т.п. Зависимости такого рода связаны с функциями системы или ее элементов, поэтому ее логично называют функциональной.
Определенность имеет место в большинстве математических задач, а также во многих моделях линейного и нелинейного программирования. Это могут быть модели поиска вариантов распределения ресурсов, дающих, наибольшую отдачу по определенному показателю (такому, как прибыль или стоимость), или наименьшему значению некоторого другого критерии (такого, как затраты) в условиях заданных ограничений.
Взаимодействия между объектами внутренней или внешней среды сложной системы, вызывающие определенные (детерминированные) последствия могут быть исследованы следующими методами системного анализа:
методы математического программирования (например, метод теории поля, рассматривающий зависимость функций элементов от параметров сложной системы);
методы структурного анализа сложных систем, позволяющие выделить в сложных системах подсистемы с их функциональными и количественными зависимостями;
методы качественной теории сложных систем - исследование устойчивости систем.
Рассмотрим более подробно данные методы.
Многочисленная группа методов математического программирования исследователями обычно разбивается на несколько подгрупп-классов. Например, по характеру области допустимых значений и виду целевой функции эти методы можно разделить на следующие классы задач:
линейного программирования – целевая функция и функция-ограничения имеют прямую зависимость, линейны;
нелинейного программирования – зависимость целевой функции и функции-ограничения не имеют прямой, линейной зависимости.
По способу решения:
аналитические;
графические;
численные.
По другим критериям – на статические и динамические (по фактору времени), дискретные и непрерывные (по характеру процесса), одномерные и многомерные (по типу и количеству переменных) и т.д.
Задачи математическое программирование достаточно хорошо изучены и используется достаточно широко не только для информационно-аналитических систем, например, для разработки прикладных компьютерных программ системного анализа, но и для практических задач управления хозяйственно-экономических систем.
Приведем пример задачи производства и поставок, предлагаемой в качестве классического примера математического программирования в условияхопределенности Г.И.Корниловым в «Основах теории систем и системного анализа»:
Пример.
Пусть некоторая фирма должна производить
и поставлять продукцию клиентам
равномерными партиями в количестве N
=24000 единиц в год. Срыв поставок недопустим,
так как штраф за это можно считать
бесконечно большим.
Запускать в
производство приходится сразу всю
партию, таковы условия технологии.
Стоимость хранения единицы продукции
Cx=10
копеек в месяц, а стоимость запуска
одной партии в производство (независимо
от ее объема) составляет Cp
=400 руб.
Таким образом, запускать в
год много партий явно невыгодно, но
невыгодно и выпустить всего 2 партии в
год — слишком велики затраты на хранение!
Где же “золотая середина”, сколько
партий в год лучше всего выпускать?
Будем
строить модель
такой
системы. Обозначим через n
размер партии и найдем количество партий
за год —
p
= N
/ n
24000 / n.
Получается,
что интервал времени между партиями
составляет
t
= 12 / p
(месяцев), а средний запас изделий на
складе — n/2
штук.
Сколько же нам будет стоить
выпуск партии в n штук за один раз?
Сосчитать нетрудно — 0.1 ·
12 ·
n / 2 руб. на складские расходы в год и
400
p
руб. за запуск партий по n
штук изделий в каждой.
В общем виде
годовые затраты составляют
E
=
T
n
/ 2 +
N
/ n
где
T
=
12 — полное время наблюдения в
месяцах.
Перед нами типичная
вариационная
задача: найти такое n0,
при котором сумма E
достигает минимума.
Решение этой
задачи найти совсем просто — надо взять
производную по n
и приравнять эту производную нулю. Это
дает
n0
=
,
что для нашего примера составляет 4000 единиц в одной партии и соответствует интервалу выпуска партий величиной в 2 месяца.
Затраты при этом минимальны и определяются как
E0=
,
что для нашего примера составляет 4800 руб. в год.
С помощью алгоритмов линейного программирования решаются задачи управления запасами, распределения ресурсов.
В самом общем виде задача линейного программирования может быть представлена в следующем виде:требуется обеспечить минимум выражения (целевой функции)
E(X) = C1 X1 + C2 X2 + ......+ Ci Xi + ... Cn Xn
п
ри
следующих условиях:все Xi положительны
и, кроме того, на все Xi налагаются m
ограничений (m < n)
A11·X1 + A12·X2 + ......+ Aij·Xj + ... A1n·Xn = B1;
.....................................................................................
Ai1·X1 + Ai2·X2 + ......+ Aij·Xj + ... Ain·Xn = Bi;
.....................................................................................
Am1·X1 + Am2·X2 + .....+ Amj·Xj+ ... Amn·Xn = Bm .
На практике только немногие ситуации могут оставаться определенными в достаточно длительном интервале времени. Поэтому, чаще всего мы встречаемся с ситуациями, имеющими два и более вероятностных исхода, т.е. с факторами неопределенности.