Для характеристики волн используется волновое число

, (6.8)

которое характеризует число волн, укладывающихся на отрезке 2 радиан.

Учитывая (6.8), уравнению (6.7) можно придать вид

(x, t) = A cos (t – kx + ₀), (6.9)

где (t – kx + ₀) – фаза распространяющейся волны. Знак «минус» перед слагаемым kx связан с явлением запаздывания.

Численное значение вектора плотности потока энергии определяется следующим образом:

(8.12)

где   - энергия, переносимая за время   через площадку   , перпендикулярную к направлению переноса энергии. Другими словами, этот вектор численно равен мощности передаваемой через единичную нормальную к направлению распространения энергии площадку. Направление вектора  совпадает с направлением распространения энергии волны.

Через площадку   за время   будет перенесена энергия   заключенная в цилиндре с основанием   и высотой   (v - фазовая скорость волны, рис.8.4). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости   и   ) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то   можно найти как произведение плотности энергии w на объем цилиндра,

равный   v   , тогда  Подставив это выражение в (8.12), получим

Рассматривая фазовую скорость v как вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), можно написать

(8.13)

Эта величина носит название вектора плотности потока энергии. Вектор плотности потока энергии был впервые введен определен русским ученым Н.А. Умовым и называется вектором Умова.

Вектор Умова, как и плотность энергии w различен в разных точках пространства. Среднее по времени значение плотности потока энергии равно:

Колебательный контур

Простейший пример электрических колебаний – это колебания напряжения и тока в обычной осветительной сети. Эти колебания происходят в результате действия внешней ЭДС генератора, изменяющейся по синусоидальному закону, т.е. являются вынужденными колебаниями. Напомним, что колебания можно разделить на свободные и вынужденные. Вынужденные колебания – это колебания, происходящие при воздействии на колебательную систему какой-либо внешней периодически действующей силы. Свободные колебания возникают при смещении колебательной системы из положения равновесия (т.е. внешняя сила действует только один раз перед началом колебаний) и в дальнейшем происходят без каких-либо внешних периодических воздействий на маятник. Простейшие примеры механических систем, совершающих свободные колебания – пружинный и физический маятники. А могут ли электрические величины совершать свободные колебания?

Р ассмотрим схемы, представленные на рис. 4.1. Если заряженный до напряжения конденсатор емкостью замкнуть на резистор, то конденсатор практически мгновенно разрядится (рис. 4.1,а). Энергия конденсатора по закону сохранения не исчезает бесследно. При протекании тока разрядки провод нагреется, т.е. весь запас энергии конденсатора перейдёт в тепло: . Если же конденсатор замкнуть на катушку с индуктивностью (рис. 4.1, б), то конденсатор будет не просто разряжаться, а перезаряжаться, т.е. в контуре возникнут колебания заряда на конденсаторе. А вместе с ними возникнут и колебания тока в контуре, напряжения на конденсаторе, ЭДС самоиндукции, возникающей в витках катушки, колебания энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. Энергия электрического поля конденсатора будет переходить в энергию магнитного поля катушки, и наоборот . Контур, состоящий из ёмкости и индуктивности, называется колебательным контуром без затухания (сопротивление контура ) или LC-контуром. А сам колебательный процесс в LC-контуре называется электромагнитными колебаниями.

Качественно колебания в LC-контуре можно объяснить следующим образом. Главной причиной колебаний является ЭДС самоиндукции , возникающая в витках катушки при изменении тока. После замыкания цепи в контуре возникает электрический ток, направленный от положительной обкладки конденсатора к отрицательной. При этом ЭДС самоиндукции препятствует нарастанию тока, и он постепенно достигает своего наибольшего значения к тому моменту, когда конденсатор полностью разрядится. Так как в этот момент движущая сила (напряжение на конденсаторе) исчезла, ток начинает уменьшаться. Но, опять-таки, ток не может мгновенно уменьшится до нуля, поскольку теперь в витках катушки возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока, т.е. некоторое время поддерживающая ток. За это время конденсатор успевает перезарядиться.

Перед тем, как рассмотреть вопрос о колебаниях в LC-контуре количественно, вспомним некоторые определения и выводы, касающиеся гармонических колебаний и изложенные в первой части физики – механике. Колебания некоторой физической величины называются гармоническими, если она изменяется со временем по закону косинуса или синуса, т.е.:

, (4.1)

где  амплитуда колебаний (максимальное отклонение смещения от положения равновесия);  циклическая частота колебаний (  период,  частота колебаний);  фаза,  начальная фаза колебаний. Первая и вторая производные величины по времени:

, .

Из последнего уравнения с учётом (4.1) следует или:

. (4.2)

Соотношение (4.2) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Мы показали, что если какая либо физическая величина совершает гармонические колебания, т.е. изменяется по закону (4.1), то для неё справедливо дифференциальное уравнение (4.2). В курсе дифференциальных уравнений доказывается и обратное утверждение: если для какой-либо физической величины удалось (используя законы физики) написать дифференциальное уравнение (4.2), то единственным его решением будет уравнение (4.1), т.е. величина совершает гармонические колебания. При этом амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями, т.е. значениями величины и её первой производной в начальный момент времени . Другими словами определяются тем, каким образом экспериментатор «запустит маятник».

Теперь рассмотрим задачу о колебаниях в LC-контуре. В контуре действует единственная электродвижущая сила – ЭДС самоиндукции . Согласно закону Ома для неоднородного участка цепи, начало которого – положительная обкладка конденсатора, а конец – отрицательная (рис. 4.1,б), можно записать: , где  разность потенциалов или напряжение между обкладками конденсатора. Так как сопротивление контура , то:

.

По определению сила тока – это заряд, протекающий через сечение проводника за единицу времени, т.е. производная заряда по времени (см. формулу (2.1)). Если  это заряд положительной обкладки, то величина тока в контуре . Знак минус учитывает тот факт, что после замыкания ключа заряд положительной обкладки убывает ( ). Тогда производная тока по времени есть вторая производная заряда по времени: . В результате получим:

. (4.3)

Отметим, что в электротехнике величина ЭДС самоиндукции, взятая с обратным знаком, рассматривается как напряжение на катушке (индуктивности): . Поэтому уравнение (4.3) можно записать в виде

. (4.4)

Уравнение (4.4) представляет собой, по сути, обобщение второго правила Кирхгофа, сформулированного нами ранее (см. п. 2.7) для замкнутых контуров с постоянными токами: сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической сумме внешних ЭДС, действующих в контуре. Внешние ЭДС в LC-контуре не действуют (ЭДС самоиндукции – это напряжение на индуктивности, внутренняя ЭДС).

Разделив обе части уравнения (4.3) на величину , получим:

. (4.5)

Уравнение (4.5) по форме совпадает с уравнением (4.2), т.е. является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Роль физической величины играет заряд на обкладках конденсатора . Можно сделать два вывода: во-первых, заряд на обкладках конденсатора изменяет по гармоническому закону

; (4.6)

во-вторых, квадрат циклической частоты колебаний (коэффициент при в уравнении (4.5)): , откуда:

. (4.7)

Период колебаний связан с циклической частотой , тогда:

. (4.8)

Формула (4.8) для периода колебаний заряда в LC-контуре называется формулой Томсона.

По гармоническому закону будут изменяться и другие физические величины, характеризующие процесс колебаний в LC-контуре. Зависимость напряжения на обкладках конденсатора от времени:

, (4.9)

где  максимальное напряжение или амплитуда напряжения на конденсаторе.

Зависимость от времени силы тока найдется дифференцированием заряда по времени:

, (4.10)

где  максимальный ток в контуре или амплитуда тока. Воспользовавшись известной формулой тригонометрии (формулой приведения), колебания тока можно записать через функцию косинус:

.

С равнение последнего выражения с уравнением (4.6) показывает, что колебание тока отличается от колебания заряда (и напряжения) конденсатора по фазе на . Это означает, что в тот момент, когда заряд конденсатора и напряжение на нём максимальны, т.е. (напомним, что  фаза), ток в контуре равен нулю (если , то ). И, наоборот, когда ток максимален, заряд и напряжение на конденсаторе равны нулю. На рис. 4.2 показаны состояния LC-контура в моменты времени , где  период колебаний. Предполагается, что в начальный момент времени ( ) заряд конденсатора максимален. Гармонические колебания будут совершать также величины ЭДС самоиндукции, энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. Советуем читателям вывести соответствующие выражения самостоятельно.

АНАЛОГИЯ МЕЖДУ МЕХАНИЧЕСКИМИ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ   Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями, например с колебаниями тела, закрепленного на пружине (пружинный маятник). Сходство относится не к природе самих величин, которые периодически изменяются, а к процессам периодического изменения различных величин.

При механических колебаниях периодически изменяются координата тела х и проекция его скорости  _x, а при электромагнитных колебаниях изменяются заряд q конденсатора и сила тока i в цепи. Одинаковый характер изменения величин (механических и электрических) объясняется тем, что имеется аналогия в условиях, при которых возникают механические и электромагнитные колебания.

Возвращение к положению равновесия тела на пружине вызывается силой упругости  F_{x упр}, пропорциональной смещению тела от положения равновесия. Коэффициентом пропорциональности является жесткость пружины k.

Разрядка конденсатора (появление тока) обусловлена напряжением и между пластинами конденсатора, которое про порционально заряду q. Коэффициентом пропорциональности является величина  , обратная емкости, так как u =   q.

Подобно тому как, вследствие инертности, тело лишь постепенно увеличивает скорость под действием сильт и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю, электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу, когда это напряжение становится равным нулю. Индуктивность контура L выполняет ту же роль, что и масса тела т при механических колебаниях. Соответственно кинетическая энергия тела   аналогична энергии магнитного поля тока 

Зарядка конденсатора от батареи аналогична сообщению телу, прикрепленному к пружине, потенциальной энергии   при смещении тела на расстояние  x_m   от положения равновесия (рис. 4.5, а). Сравнивая это выражение c энергией конденсатора   замечаем, что жесткость k пружины выполняет при механических колебаниях такую же роль, как величина  , обратная емкости, при электромагнитных колебаниях. При этом начальная координата х_m соответствует заряду q_m. Возникновение в электрической цепи тока i соответствует появлению в механической колебательной системе скорости тела  _x   под действием силы упругости пружины (рис. 4.5, б).

Момент времени, когда конденсатор разрядится, а сила тока достигнет максимума, аналогичен тому моменту времени, когда тело будет проходить с максимальной скоростью (рис. 4.5, в) положение равновесия.

Далее конденсатор в ходе электромагнитных колебаний начнет перезаряжаться, а тело в ходе механических колебаний — смещаться влево от положения равновесия (рис. 4.5, г). По прошествии половины периода Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю.

При механических колебаниях этому соответствует отклонение тела в крайнее левое положение, когда его скорость равна нулю (рис. 4.5, д).

Соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах можно свести в таблицу.   ПРИМЕНЕНИЕ - РАДИОПРИЕМНИК ,РАДИОПЕРЕДАТЧИК