2.6. Третий закон Ньютона и закон сохранения импульса

О пыт показывает, что воздействие тел друг на друга всегда является взаимным, парным и силы всегда возникают парами. Если тело 1 действует на тело 2 с силой , то, в свою оче­редь, тело 2 действует на тело 1 с силой , при­чем силы взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению (рис. 2.2).

В этом заключается суть третьего закона Ньютона: всякому действию есть равное и противоположное противодействие; иначе, силы, с которыми взаимодействуют тела, равны по величине и противоположны по направлению:

. (2.6)

Этот закон является следствием закона сохранения импульса для пары тел. В самом деле, если от выражающего этот закон уравнения взять производную по времени, получим

,

что с учетом (2.5а) дает уравнение (2.6).

Сила – величина векторная. В отличие от других векторов она характеризуется тремя признаками: 1) абсолютной величиной (модулем); 2) направлением; 3) точкой приложения.

9. Вращение твердого тела относительно неподвижной оси. Основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела. Момент инерции.

Основной закон динамики вращательного движения

В случае постоянного момента инерции тела в процессе вращения “Основной закон...” читается так: момент силы (или результирующий момент сил, если их несколько), действующий на тело относительно оси вращения, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение, с которым вращается тело:

. (3.11)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси ОО называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

I = . (3.2)

Измеряется момент инерции в кг·м .

Моментом инерции материальной точки относительно оси OO называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

I_i = m_i r_i². (3.1)

Большую помощь при вычислениях МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I_с относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

I = I_с+ m d². (3.5)

Величина b = r sin  называется плечом силы (кратчайшее расстояние от точки О΄ до линии действия силы).

Моментом силы относительно оси ОО называется скалярная величина М₀₀, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно точки О΄, лежащей на данной оси.

В нашем случае

.

. (2.11)

Это уравнение выражает основной закон поступательного движения для системы материальных точек: скорость изменения импульса физической системы равна суммарной внешней силе.

2. Из уравнения (2.11) следует, что в отсутствии внешних сил

, (2.12)

т.е. суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным (закон сохранения импульса для системы материальных точек). Иначе говоря, импульс системы тел может быть изменен только за счет действия внешних сил.

22. Сложение колебаний одинаковой и разной частоты. Биения

Сложение колебаний одной частоты,

направленных вдоль одной прямой

Пусть тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одной частоты ₀ .Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х₁ и х₂, которые запишутся следующим образом:

х ₁ = А₁ cos (₀t +₁),

x₂ = A₂ cos (₀t+ ₂). (5.31)

Представим оба колебания с помощью векторов А₁ и А₂ (рис. 5.6). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. Проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов:

х = х₁ + х₂ .

Следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ₀, что и векторы А₁ и А₂, так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой ₀, амплитудой А и начальной фазой . Из построения видно, что

А² =А 2 А₁А₂ cos cos ( ) , (5.32)

. (5.33)

Проанализируем выражение (5.32) для амплитуды:

1. Если разность фаз обоих ко­ле­­ба­ний ₂  ₁ = 0, то амплитуда ре­зуль­тирующего колебания А = А₁ + А₂ .

2. Если ₂  ₁ = , т.е. оба колебания находятся в противофазе, то .

Если частоты колебаний х₁ и х₂ неодинаковы, векторы А₁ и А₂ будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор А пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью.

Результирующим движением в этом случае будет не гармоническое колебание, а некоторый сложный процесс.