§4. Идеальный газ и уравнение его состояния.

Идеальным газом наз. газы, подчиняющиеся законам Гей-Люссака и Бойля Мариотта. В МКТ пользуются идеализированной моделью идеального газа, согласно которой:

1. собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда (атомы и молекулы которого могут считаться материальными точками);

2. между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

3. столкновения газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Опр.2 Уравнение, связывающее основные параметры состояния газа, наз. уравнением состояния.

Французкий физик и инженер Б. Клайперон вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.

Пусть некоторая масса газа занимает объем V₁, имеет давление Р₁ и находится при температуре Т₁. Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами Р₂, V₂ и Т₂. (рис.)

Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического и 2) изохорного.

В соответствии с законами Б-М и Г-Л: Р₁V₁= Р’₁V₁, .

Исключив Р’₁, получим: . Т.к. состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то величина остается постоянной: (6) – уравнение Клайперона.

Менделеев объединил уравнение Клайперона с законом Авогадро, отнеся ур-е (6) к 1 молю и взяв молярный объем V_m. Согласно закону Авогадро при одинаковых Р и Т моли всех газов занимают одинаковый объем V_m, поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая постоянная обозначается R и наз. молярной газовой постоянной.

Уравнению (7) удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно называется уравнением состояния идеального газа, а также ур-ем Клайперона-Менделеева.

V_m=22,4110^-3 м³/моль

От ур-я (7) легко перейти к уравнению К-М для произвольной массы газа:

(8) , R=8,31 Дж/(мольК). Дж/К.

Ур-е (8) можно получить и из основного ур-я МКТ: р=nkT. Из него следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его ммолекул (или плотности газа). При одинаковых Т и Р все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. При н.у. это число наз. числом И. Лошмидта: .

П.1 Некоторые следствия основного ур-я МКТ и ур-я состояния идеального газа.

По формуле (3) имеем: . Учитывая, что n=N/V, получим: . С др.ст. по ур-ю К-М: . Отсюда:

(10) . Отсюда средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа (9). Получаем вывод: термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа. Формула (9) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.

§5. Барометрическая формула. Опыт Перрена. Распределение частиц в силовом поле.

Молекулярно-кинетическое истолкование возникновения давления газа позволяет объяснить и весомость газов. Вес газа возникает в результате того, что о верхнюю и нижнюю стенки сосуда молекуля ударяются, двигаясь с различной скоростью. Избыточная сила, действующая на нижнюю стенку возникает в результате изменения скоростей движения молекул (увеличения) под действием поля земного тяготения.

Действие силы тяжести приводит не только к возникновению избыточного давления на дно сосуда, содержащего газ, но и к определенному распределению молекулярной плотности по высоте газового столба. Одновременно с изменением плотности изменяется и давление газа, измеряемое барометром.

Вывод: Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул – с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Известно, что плотность земной атмосферы различна вблизи поверхности Земли и на некоторой высоте. Давление воздуха уменьшается с высотой. Как меняется давление газа с подъемом на некоторую высоту в поле силы тяжести и как меняется концентрация молекул газа?

Пусть h – высота над уровнем моря, причем R»h и можно считать g=const. Выберем некоторый слой воздуха, к-й находится на высоте х над поверхностью Земли. Тогда при дальнейшем подъеме на dx давление будет падать на величину gdx, где  - плотность на высоте х, dx – приращение высоты.

Плотность на высоте х м.б. вычислена как =m₀n. Имеем: р_х=n_xkT, тогда   координата меняется от 0 до h.

Получим: (10) , а значит (11). Равенство (10) было получено впервые французким математиком и физиком Лапласом и наз. барометрической формулой Лапласа.

Иначе можно записать так: (12), где - изменение потенциальной энергии одного моля газа при перемещении его с уровня с n₀ на уровень с n. Т.о., разница молекулярных плотностей в столбе покоящегося газа зависит от различия потенциальных энергий молекул, находящихся на разной высоте. Можно сформулировать как общее правило: если имеются две области, отличающиеся одна от другой тем, что потенциальные энергии молекул в них различны, и если возможен взаимные переход молекул из одной области в другую, то при равновесии в этих областях будут различны и плотности вещества. Соотношение плотностей в этом случае можно подсчитать по (12).

Заметим следующее:

1. Отношение давлений (концентраций) зависит только от разности высот, но не самих высот.

2. Скорость изменения давления и концентрации частиц зависит от молекулярного веса газа. При увеличении веса молекул в а раз то же изменение давления будет иметь место при меньшем в а раз подъеме:

При подъеме на высоту концентрация легких и тяжелых компонентов меняется: чем ниже уровень, тем больше тяжелых компонентов. Если бы земная атмосфера состояла из чистого кислорода, то при 0⁰С давление падало бы наполовину при подъеме на 5 км. В случае чистого водорода с молекулярным весом в 16 раз меньшим давление убывало бы при 0⁰С наполовину при подъеме на высоту 165 км=80 км.

Этот расчет годится на небольшой высоте, т.к. мы считали Т постоянной.

Экспериментальное определение числа Авогадро.

Основная идея опытов Перрена сводилась к предположению, что законы МКТ определяют поведение и гораздо более крупных частиц, состоящих из тысяч молекул: средние кинетические энергии мелких частиц, совершающих броуновское движение в жидкости, совпадают со средними кинетическим энергиями молекул газа при равной температуре жижкости и газа. Поэтому распределение по высоте частиц, взвешенных в жидкости, подчиняется закону (12).

Барометрическая формула была использована Перреном для вычисления k: он использовал микроскоп и сравнивал концентрацию броуновских частиц на разной высоте (сложность в определении массы броуновкой частицы).

  k - ?

Нужна была смесь приблизительно равных броуновских частиц. Для этого Перрен вращал взвесь (водные эмульсии двух смол - мастики и гуммигута) на центрифуге, отфильтровывая зернышки равного размера. Радиусы измерял по равномерному падению частиц в жидкости под действием силы тяжести и силы вязкости с постоянной скоростью по формуле Стокса. За движением отдельных зернышек следить было невозможно и поэтому наблюдалась скорость оседания верхней границы эмульсии, т.е. средняя скорость оседания многих тысяч зернышек.

Зная плотность эмульгированного вещества и определяя размеры зернышек эмульсии, можно было вычислить их массы. Плотность смол была хорошо известна.

Используя объектив с небольшой глубиной поля зрения можно видеть зернышки в очень тонком слое жидкости. Но их число непрерывно меняется. Поэтому в фокальной плоскости окуляра помещался непрозрачный экран с маленьким круглым отверстием. Это уменьшало поле зрения и наблюдптель мог сразу определить, сколько зернышек в данный момент находится в поле зрения. Повторяя подобные наблюдения через правильные промежутки времени и усредняя подобные данные, Перрен показал, что среднее число зерен на данном уровне стремится к некоторому определенному пределу, соответствующему плотности эмудбсии на этом уровне.

Тщательно выполненные измерения показали, что распределение зернышек эмульсии по высоте подчиняется (12). Далее Перрен вычислил среднюю кинетическую энергию частиц и по соотношению нашел значение числа Авогадро. Найденные таким образом числа Авогадро колебались от до . В своей работе Перрен сопоставляет найденные им величины со значениями числа Авогадро, определенными 12-ю другими методами, и подчеркивает, что самые разнообразные методы определения N_A приводят к весьма близким величинам, чего не могло бы быть, если бы основные положения МКТ не отражали бы правильно явления, объективно существующие в природе.

Теория распределения частиц в силовом поле была разработана немецким физиком Людвигом Больцманом. Если энергия частицы в этом поле U, то концентрация частиц с такой энергией определяется формулой:

(13) - распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле.

Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то (13) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле силы тяжести.