23. Интеграл адиабаты (определение адиабатического течения, допущения и вывод уравнения адиабаты в общем случае, свойство баротропности).

Движение жидкости наз. адиабатическим, если жидкость не приобретает тепла из вне и не отдаёт его. Предположение, что( ) значит что мы рассматриваем адиабатическое движение.

Выпишем уравнения неразрывности и энергии

(1.1) (1.2)

Найдём из (1.1) и подставим в (1.2), получим (1.3)

Внутренняя энергия с учетом уравнения состояния может быть представлена как функция . Перепишем (1.3) : (1.3) или ) (1.4)

Отсюда (1.5)

Правая часть (1.5) - известная функция , обозн. её через : (1.5’)

Это уравнение связывает изменение давления с изменением плотности в движущейся частице.

Проинтегрировав (1.5) получим: (1.6) – Интеграл адиабаты.

Здесь - постоянная интегрирования, сохраняющая своё значение для движущейся частицы.

Равенство (1.6) означает, что плотность в движущейся частице явл. функцией только давления:

т.е. имеет баротропность для частиц.

Свойство жидкости, когда , называется свойством баротропности.

Билет № 24 Адиабата Пуассона для совершенного газа (вывод из общего уравнения адиабаты). Адиабата для несжимаемой жидкости (вывод).

Адиабата Пуассона. Рассмотрим газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона

(1.7)

Пусть – теплоемкость газа при постоянном объеме и постоянном давлении; предполагается, что они постоянны. В этом случае внутренняя энергия (1.8)

Учтем известное соотношение и, выразив T из (1.7) через p и ρ, подставим T в (1.8): или (1.9)

Отношение называют показателем адиабаты. Уравнение (1.5) при таком выражение для E примет вид (1.10)

Интегрируя последнее уравнение, получаем соотношение, которое называют адиабатой Пуассона: (1.11)

Соотношение (1.11) имеет место в частице. Постоянная C может изменятся от частицы к частице. При установившееся движении C ( т.е. ) постоянна на линии тока.

Адиабата для несжимаемой жидкости. Движение жидкости называется адиабатическим, если жидкость не приобретает тепла из вне и не отдает его.

Выпишем уравнение неразрывности и уравнение энергии

(1.1) (1.2)

Найдя div v из (1.1) и подставив ее в (1.2), получим (1.3)

Внутренняя энергия с учетом уравнения состояния может быть представлена как функция p и ρ. Принимая это во внимание, можем переписать (1.3) в виде или (1.4)

Отсюда (1.5)

Правая часть (1.5) – известная функция p и ρ, обозначим ее через Q(p, ρ):

(1.5’)

Уравнение ( 1.5’) – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно связывает изменение давления с изменение плотности в движущейся частице, поскольку уравнение (1.5) получено из уравнения (1.4), в которое входили полные производные и . Проинтегрировав (1.5), получим

(1.6)

Здесть C – постоянная интегрирования, сохраняющая свое значение для движущейся частицы. При переходе от одной частицы к другой значение C может изменятся. Интеграл (1.6) называется адиабатой.

Билет № 25 Интеграл Бернулли (допущения, вывод для общего случая).

Предположим, что жидкость идеальна, массовые силы консервативны, движение установившееся, имеет место баротропность на линии тока.

Так как жидкость идеальна, то уравнение движения (2.1)

Так как массовые силы консервативны, то (2.2)

и уравнение (2.1) можно переписать в виде (2.3)

Предположение о баротропности на линии тока означает, что (2.4)

где С постоянная на линии тока.

При установившемся движении траектория и линия тока совпадают. Обозначим через dr(dx, dy, dz) элементарное перемещение вдоль линии тока и умножим скалярно все члены (2.3) на dr: (2.5)

Так как линия тока является и траекторией, то

, (2.6)

Кроме того, , . (2.7)

Подставим (2.6) и (2.7) в (2.5), получим . (2.8)

Имея ввиду (2.4), введем функцию P(p, C): (2.9)

С учетом (2.9) равенство (2.8) можно переписать в виде (2.10)

Отсюда (2.11)

Равенство (2.10) и (2.11) имеют место на любой линии тока, но постоянная в правой части (2.11) может изменяться при переходе от одной линии тока в другую. Равенство (2.11) называют интегралом Бернулли.

Билет № 26 Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости в поле сил тяжести (получение уравнения, физическая интерпретация слагаемых). Истечение жидкости из сосуда через малое отверстие (задача Торичелли).

Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости. В этом случаи ρ-заданная постоянная и .

Интеграл Бернулли примет вид (2.12)

Если массовые силы – силы тяжести, то V=gz и интеграл Бернулли в этом случае

(2.13) или (2.14)

Отдельные слагаемые в (2.14) имеют размерность длины и называются соответственно: – скоростной, z – геометрической, - пьезометрической высотами. Равенство (2.14) позволяет дать такую формулировку интеграла Бернулли: при движении однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести сумма скоростной, пьезометрической и геометрической высот постоянна вдоль линии тока.

Истечение жидкости из сосуда через малое отверстие. Рассмотрим истечение жидкости из сосуда через отверстия. Будем считать, что отверстие расположено в близи дна. Жидкость предположим несжимаемой и находящийся в поле сил тяжести. Пусть S – площадь открытой поверхности жидкости в сосуде, s – площадь отверстия, H – уровень жидкости в сосуде.

Предполагаем, что s/S<< 1. Когда отверстие открыто, то уровень в сосуде понижается, хотя и медленно. Возникающее течение будет неустановившемся, но медленно изменяющемся во времени ( s/S мало ). Это движение можно приближенно рассматривать как последовательную смену установившихся движений. Такая трактовка неустановившихся движений носит название квазистационарной трактовки, или квазистационарного подхода. При таком подходе можем записать интеграл Бернулли, который для несжимаемой жидкости при V = gz для любой линии тока имеет вид (2.13).

Рассмотрим линию тока AB, проходящую через точку A поверхности S и точку B в сечение s. Записав интеграл Бернулли для точек A и B этой линии, будем иметь

Принимая, что давление в точках A и B равно атмосферному , получаем

Уравнение неразрывности ( постоянство расхода ) приводит к соотношению

Из последних двух равенств найдем скорость истечения жидкости из сосуда

Так как s/S << 1, то можно написать

Последняя формула есть известная формула Торричелли. Скорость истечения не отличается от скорости материальной точки, падающей с высоты H.

Билет №12 Вектор и его компоненты в декартовых координатах. Связь с угловой скоростью вращения жидкой частицы.

Вектор и его компоненты в декартовых координатах. Связь с угловой скоростью вращения жидкой частицы.

Уравнение Эйлера в форме Громеки – Лэмба :

Запишем уравнение в проекции на оси, используя обозначение :

Здесь

Уравнение Громеки – Лэмба содержат в явном виде вектор вихря Ω.

Компоненты скорости есть частные производные от φ(x,y,z,t) по координатам. Функцию φ называют потенциалом скоростей.

Билет №27 Уравнение Бернулли для совершенного газа (получение уравнения из общего интеграла Бернулли, переход к различным формам записи уравнения: через энтальпию, внутреннюю энергию, температуру). Уравнение Бернулли для несжимаемого газа (сравнение со случаем совершенного газа). Определение скорости потока несжимаемого газа с помощью трубки Пито–Прандтля.

Уравнение Бернулли для совершенного газа. В термодинамике энтальпия единицы массы газа определяется выражением (3.1). Следовательно, при малых изменениях параметра состояния

На основание первого начала термодинамике сумма равна притоку тепла dq к системе. Если приток тепла к системе или отвод тепла от нее отсутствует, т.е. если процесс адиабатический, то dq=0 и . Таким образом, адиабатического процесса равенство ( при отсутствие массовых сил ) можно записать в виде и соответственно интеграл Бернулли – в виде (3.2), где - значение энтальпии при v = 0.

Если ввести в (3.2) выражение (3.1) для i, то будем иметь

Здесь E – внутренняя энергия, складывающаяся в случае многоатомного газа из энергии поступательного , вращательного и колебательного движения молекул( предполагается, что нет процессов диссоциации, ионизации и др.). В газовой динамике предполагают, что газ совершенный, а теплоемкость обычно считают постоянной, что справедливо в определенном диапазоне температуры, когда можно не учитывать колебательную энергию. В этом случае для двух атомных газов ( воздух обычно рассматривают как смесь кислорода и азота ) и энтальпия дается формулой , а интеграл Бернулли имеет вид (2.17) при ( V = 0 ). Если температуры таковы, что возбуждается и колебательная энергия , то интеграл Бернулли надо писать в виде

Для газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, колебательная энергия есть функция температуры T, но при этом теплоемкость колебательных степеней свободы, а следовательно, и зависит от T.

Выражение колебательной энергии для двухатомного газа . Величина θ называется характеристическая температура , где v – частота колебаний, h – постоянная Планка, а κ – постоянная Больцмана.

Интеграл Бернулли будет иметь вид

Уравнение Бернулли для несжимаемого газа. Пусть AB – линия тока, соединяющая точку A внутри сосуда с точкой B в сечение вытекающей струн. Для точек A и B можно записать адиабату Пуассона (1.11) и интеграл Бернулли (2.19):

(4.1)

При большом сосуде и малом отверстии и можно принять . Обозначая получаем из интеграла Бернулли (4.1)

(4.2)

Определение скорости потока несжимаемого газа с помощью трубки Пито–Прандтля.

Отсюда

Билет №11 Уравнения изменения отдельно внутренней и отдельно кинетической энергии (вывод уравнений в интегральной и дифференциальной формах).

Внутренняя энергия. Переход массы жидкости из исходного положение О в другое связано с изменением энергии. Будем считать что в исходном состояние масса М имела запас энергии . Тогда можно ввести велечену

(1.1)

Если известна величина , то ε может быть определена по формуле (1.1).

Введем величину E – внутренняя энергия, отнесенная к единице массы. В общем случае неоднородной движущейся жидкости E – функция координат и времени:

(1.2)

Из определения (1.2) следует, что запас внутренней энергии в массе dm равен Внутренняя энергия в конечной массы жидкости в объеме τ

(1.3)

Выражение для внутренней энергии имеет вид , где - теплоемкость при постоянном объеме. Когда нет процессов диссоциации и ионизации, внутренняя энергия состоит из энергии поступательного , вращательного и колебательного движения молекул. Для одноатомного газа . Для двухатомного, когда практически возбуждены только поступательные и вращательные энергии молекул, теплоемкость постоянна и . При высоких температурах начинает сказываться возбуждение колебательной энергии молекул. Внутренняя энергия может быть записана в виде . Зависимость от T известна. Для многоатомных газов вид функции и от T будет зависеть не только от числа атомов, но и от структуры молекул.

Кинетической энергии. Если жидкость движется, то она обладает кинетической энергией. Кинетическая энергия массы dm, движущейся со скоростью v, равна . Кинетическая энергия массы заключена в объем τ:

(2.1)

Проверить!!!

Билет № 21 Замкнутая система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости (допущения, преобразование уравнений количества движения и энергии, введение диссипативной функции и ее физический смысл, искомые функции, известные константы и зависимости, граничные условия для установившихся течений).

Рассматриваем однородную несжимаемую жидкость. Для нее – уравнение состояния.

Коэффициент вязкости 2.1 Коэффициент проводимости 2.1

Так как ρ=const, то и уравнение неразрывности примет вид

(2.2)

Тензор напряженности в силу (2.2) будет

,

, (2.3)

,

Рассмотрим уравнение движения . Запишем его проекцию на ось x и подставим вместо выражение (2.3). Получим

(2.4)

В силу (2.2) уравнение (2.4) примет вид

Аналогично для других уравнений – проекции на оси y и z. (2.5)

Перепишем уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости в виде (2.6)

Уравнение (2.6) равносильны одному векторному уравнению

Уравнение энергии . (1.3)

Обратимся к уравнению энергии (1.3). Подставим выражение (2.3) для тензора напряжений в группу слагаемых, входящих в уравнение энергии:

(2.7)

В силу (2.2) div v=0. Через 𝜙 обозначена сумма

(2.8)

Используя закон теплопроводности Фурье и предположение , что κ= const, получим

(2.9)

Учитывая (2.7) и (2.9), перепишем уравнение энергии (1.3) в виде

(2.10)

Для несжимаемой жидкости E=cT + const t, где c- теплоемкость, и уравнение энергии примет вид (2.11)

И так, уравнение (2.2), (2.6), (2.11) образуют систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости

(2.12)

Функция 𝜙 имеет вид (2.8). Система(2.12) содержит пять уравнений для отыскания пяти функций:

Постановка задач для установившихся течений:

1.Граничные условия на обтекаемом теле. Вязкая жидкость обладает свойством прилипания к телу. Поэтому на поверхности S непроницаемого тела скорость частиц жидкости должна быть равна нулю т.е v|s=0, |s=0, |s=0 (3.1)

где , – нормальная и касательная составляющая скорости. Если поверхность проницаема то

v|s=U(M), где U(M) – заданная функция.

Условия для температуры

T|s= (M), где (M) – температура точек поверхности тела (3.2)

|s=q(M), где q – поток тепла (3.3)

|s= |s, где , коэффициент теплопроводности и температура тела. (3.3’)

Условие (3.3) означает непрерывность потока тела.

2,Условие на бесконечности

v| = p| = T| =

3,Граничные условия на поверхности двух скоростей.

1. Предмет МЖГ. Газ с точки зрения молекулярных представлений (характерные размеры молекул, атомов, ядер и электронов, их масс, расстояний между молекулами, средней длины свободного пробега молекул). Введение физически бесконечно малого объема в газе (его определение, понятие характерного линейного размера течения, число Кнудсена). Гипотеза сплошности и другие основные постулаты МЖГ.

2. *Индивидуальная и локальная производные от газодинамических параметров по времени. Скорость объемного расширения жидкости (определение, вычисление).

3. Понятие жидкого объема. Вывод формул для вычисления производной по времени от интеграла по жидкому объему.

4. *Закон сохранения массы (допущения, физическая формулировка, вывод уравнения закона в интегральной форме. Уравнение неразрывности (вывод, рассмотрение частных случаев).

5. *Объемные и поверхностные силы в сплошной среде (определение плотности объемных и массовых сил и ее вычисление в случае действия сил тяжести, определение напряжений, вычисление главных векторов объемных и поверхностных сил). Закон изменения количества движения для движущегося жидкого объема (физическая формулировка, интегральная форма записи).

6. *Формула Коши (вывод). Тензор напряжений (запись формулы Коши в терминах понятий линейной алгебры, введение линейного оператора и его физический смысл, определение тензора напряжений).

7. *Уравнения динамики сплошной среды в напряжениях (вывод).

8. *Орбитальный и внутренний моменты в жидкостях и газах (физический смысл, определение). Вычисление главного момента внешних сил, приложенных к жидкому объему. Закон изменения момента количества движения для жидкого объема (физическая формулировка, уравнение закона в интегральной форме).

9. *Доказательство симметрии тензора напряжений в жидкости (газе) без внутренних моментов.

10. *Внутренняя, кинетическая и полная энергия жидкости и газа (физический смысл, вычисление). Физические причины изменения полной энергии в движущемся жидком объеме и их математическое описание. Закон изменения полной энергии в движущейся жидкости (газе) (физическая формулировка, интегральная форма записи).

11. *Уравнения изменения отдельно внутренней и отдельно кинетической энергии (вывод уравнений в интегральной и дифференциальной формах).

12. *Вектор и его компоненты в декартовых координатах. Связь с угловой скоростью вращения жидкой частицы.

13. Поле скоростей сплошной среды в окрестности точки. Теорема Гельмгольца (вывод формулы для ).

14. Скорость материальной точки N относительно бесконечно близкой точки M в деформационном движении среды (формула для ). Тензор скоростей деформаций (определение, выражения для компонент и их физический смысл, линейный инвариант).

15. -*Модель вязкой ньютоновской жидкости (газа) (определение, свойства, происхождение, физический смысл коэффициентов в выражении тензора напряжений через тензор скоростей деформаций).

16. -*Выражения для компонент тензора напряжений в вязкой ньютоновской среде (в сжимаемом газе и несжимаемой жидкости). Тензор вязких напряжений (выражения его диагональных и недиагональных компонент через компоненты тензора скоростей деформаций). Коэффициент динамической вязкости (размерность, зависимость от температуры для газов и жидкостей).

17. -*Модель идеальной жидкости (газа) (определение, выражения для компонент тензора напряжений, уравнения количества движения и энергии).

18. -*Вектор плотности потока тепла (определение, физические причины теплопроводности в жидкостях и газах). Закон Фурье (математическое выражение, размерность коэффициента теплопроводности и его зависимость от температуры для газов и жидкостей).

19. -*Термодинамическая модель среды. Калорическое и термическое уравнения состояния. Совершенный газ. Несжимаемая жидкость.

20. Замкнутая система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкого теплопроводного сжимаемого газа (исходные уравнения, искомые функции, известные константы и зависимости, граничные условия для установившихся течений).

21. Замкнутая система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости (допущения, преобразование уравнений количества движения и энергии, введение диссипативной функции и ее физический смысл, искомые функции, известные константы и зависимости, граничные условия для установившихся течений).

22. Замкнутая система уравнений и постановка задач в гидромеханике идеальной нетеплопроводной среды (получение из “вязких” уравнений систем для сжимаемого газа и несжимаемой жидкости, искомые функции, граничные условия для установившихся течений).

23. *Интеграл адиабаты (определение адиабатического течения, допущения и вывод уравнения адиабаты в общем случае, свойство баротропности).

24. *Адиабата Пуассона для совершенного газа (вывод из общего уравнения адиабаты). Адиабата для несжимаемой жидкости (вывод).

25. *Интеграл Бернулли (допущения, вывод для общего случая).

26. *Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости в поле сил тяжести (получение уравнения, физическая интерпретация слагаемых). Истечение жидкости из сосуда через малое отверстие (задача Торичелли).

27. *Уравнение Бернулли для совершенного газа (получение уравнения из общего интеграла Бернулли, переход к различным формам записи уравнения: через энтальпию, внутреннюю энергию, температуру). Уравнение Бернулли для несжимаемого газа (сравнение со случаем совершенного газа). Определение скорости потока несжимаемого газа с помощью трубки Пито–Прандтля.

28. *Скорость звука (определение, вывод формул для скорости звука). Переход в уравнении Бернулли к скорости звука. Критическая скорость звука (определение, вывод соотношения между и ). Число Маха и коэффициент скорости (определения, вывод соотношения между этими величинами).

29. Формулы изэнтропического течения (вывод формул , и ). Оценка влияния сжимаемости газа при расчете давления торможения .

30. Обобщенные одномерные установившиеся движения (определение и основные соотношения). Задача о течении идеального несжимаемого газа в трубе переменного сечения (система уравнений, исходные и искомые параметры, схема решения).

31. Анализ течения совершенного газа в трубе переменного сечения. (исходная система соотношений, вывод уравнения, связывающего изменение скорости с изменением площади поперечного сечения трубы, и соотношений между дифференциалами газодинамических параметров, рассмотрение типичных ситуаций).

32. Течение газа в сопле Лаваля: расчетный и нерасчетный режимы. Функция приведенного расхода (вывод зависимости , ее график, определение геометрического числа Маха сверхзвукового сопла).