1 Вопрос.

1. Определение:

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных  z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как

1. 

где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл   от функции одной переменной   выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R (рисунок 1).

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.

Объем цилиндрического тела

Р ассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью  снизу - замкнутой  областью D плоскости Оху, с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 5). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z=ƒ(х;у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей Di, площади которых равны   Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z=ƒ(х;у)  (на рис. 5 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием D_i через ∆V_i, получим

Возьмем на каждой площадке D_i произвольную точку  M_i(x_i;,y_i) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием D; и высотой z_i=ƒ(х_i;у_i).

Объем этого цилиндра приближенно равен объему ΔV_i цилиндрического

столбика, т. е. . Тогда получаем: 

Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры «элементарных областей» D_i. Естественно принять предел суммы (7.3) при условии, что число площадок D_i неограниченно увеличивается (n -> ∞), а каждая площадка стягивается в точку (maxd_i-> 0), за объем V цилиндрического тела, т. е.

или, согласно равенству (7.2),

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу m плоской пластинки D, зная, что ее поверхностная плотность g=g(х;у) есть непрерывная функция координат точки (х;у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей  площади которых обозначим через ∆S_i. В каждой области D; возьмем произвольную точку М_i(х_i;у_i) и вычислим плотность в ней:

Если области D_i достаточно малы, то плотность в каждой точке (х;у) є D_i мало отличается от значения g(x_i;y_i). Считая приближенно плотность в каждой точке области D_i постоянной, равной g(x_i;y_i), можно найти ее массу   Так как масса m всей пластинки D равна   то для ее  вычисления имеем приближенное равенство

Точное значение массы получим как предел суммы (7.5) при условии n ->∞ и max d_i -> 0:

или, согласно равенству (7.2),

Итак, двойной интеграл от функции g(x;у) численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию g(х;у) считать плотностью этой пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

1. 

2. 

3. , где k - константа;

4. Если   в области R, то  ;

5. Если   в области R и   (рисунок 4), то  ;

6. Если   на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок 5), то  .  Здесь   означает объединение этих двух областей .