Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
5_Otvety_po_matematike_3_semestr_2013-2014.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
24.02.2020
Размер:
19.83 Mб
Скачать

1 Вопрос.

  1. Определение:

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных  z = f (x,y). Двойной интеграл от функции (x,y) обозначается как

где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл   от функции одной переменной   выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R (рисунок 1).

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.

Объем цилиндрического тела

Р ассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью  снизу - замкнутой  областью D плоскости Оху, с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 5). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z=ƒ(х;у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей Di, площади которых равны   Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z=ƒ(х;у)  (на рис. 5 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Di через ∆Vi, получим

Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку  Mi(xi;,yi) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием D; и высотой zi=ƒ(хii).

Объем этого цилиндра приближенно равен объему ΔVi цилиндрического

столбика, т. е. . Тогда получаем: 

Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры «элементарных областей» Di. Естественно принять предел суммы (7.3) при условии, что число площадок Di неограниченно увеличивается (n -> ∞), а каждая площадка стягивается в точку (maxdi-> 0), за объем V цилиндрического тела, т. е.

или, согласно равенству (7.2),

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу m плоской пластинки D, зная, что ее поверхностная плотность g=g(х;у) есть непрерывная функция координат точки (х;у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей  площади которых обозначим через ∆Si. В каждой области D; возьмем произвольную точку Мiii) и вычислим плотность в ней:

Если области Di достаточно малы, то плотность в каждой точке (х;у) є Di мало отличается от значения g(xi;yi). Считая приближенно плотность в каждой точке области Di постоянной, равной g(xi;yi), можно найти ее массу   Так как масса m всей пластинки D равна   то для ее  вычисления имеем приближенное равенство

Точное значение массы получим как предел суммы (7.5) при условии n ->∞ и max di -> 0:

или, согласно равенству (7.2),

Итак, двойной интеграл от функции g(x;у) численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию g(х;у) считать плотностью этой пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

  1. , где k - константа;

  2. Если   в области R, то  ;

  3. Если   в области R и   (рисунок 4), то  ;

  4. Если   на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок 5), то  .  Здесь   означает объединение этих двух областей .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]