61.Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы

1. Ортогональное преобразование пространства  :

где   - собственные значения матрицы A.

2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если 

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой   и т. д. Если в квадратичной форме все   но есть   то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например,   то полагаем     

3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры   квадратичной формы отличны от нуля):

62.Сравнения по модулю. Свойства сравнений

 Нормальный вид квадратичной формы  Для действительной квадратичной формы

где   r = rank A.

Для комплексной квадратичной формы

    r = rank A.

Для действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных форм: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных преобразований.

Классификация действительных квадратичных форм  Положительно-определенные  Квадратичные формы, для которых   таких, что   Нормальный вид   Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны   (критерий Сильвестра).

Отрицательно-определенные  Квадратичные формы, для которых   таких, что   Нормальный вид Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда 

Положительно-полуопределенные  Квадратичные формы, для которых   таких, что   Нормальный вид   r < n, r = rank A.

Отрицательно-полуопределенные  Квадратичные формы, для которых   таких, что   Нормальный вид   r < n, r = rank A.

Неопределенные  Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нормальный вид:   r = rank A.

Сравнения по модулю и их свойства

Сравнимые числа

Говорят, что целое число   сравнимо с целым числом   по модулю  , где   — целое число, большее  , если разность   делится на   без остатка.

Или, что то же самое, если числа   и   имеют одинаковый остаток от деления на  .

Из определения следует, что если   сравнимо с   по модулю  , то и   сравнимо с   по тому же модулю  . Поэтому говорят просто, что числа   и   сравнимы по модулю  .

Обозначение:  . Знак   (сравнимо) по начертанию совпадает со знаком "тождественно равно", но по смыслу не имеет с ним ничего общего.

Примеры:  . Иногда удобно записывать цепочку сравнений. Тогда модуль указывается один раз в конце цепочки:  .

Сравнение

Запись  , где  ,  , называется сравнением (сравнением первой степени) и означает, что число   сравнимо с числом   по модулю  .

Свойства сравнений

1. Сравнимость с нулём.   сравнимо с   по модулю  , тогда и только тогда, когда   делится на  .  .

2. Рефлексивность.   для любого целого  .

3. Симметричность. Для любых целых   и   верно:  .

4. Транзитивность. Для любых целых  ,  и    верно: .

5. Аддитивность. Если   и  , то  .

6. Мультипликативность. Если   и  , то  .

7. Умножение модуля. Если   и   и   НОК , то  .

8. Правила сокращения для сравнений следующие.

• Можно делить обе части сравнения на число, взаимно простое с модулем: если   и  , то  .

• Можно одновременно разделить обе части сравнения и модуль на их общий делитель: если  , то  .