Условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил

Пространственная система произвольно расположенных сил находится в равновесии тогда, когда главный вектор и главный момент равны нулю.

Уравнения равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил

Алгоритм решения задачи №2

1. Изобразите балку вместе с нагрузками.

2. Выберите расположение координатных осей, совместив ось Х с балкой, а ось У напра-

вив перпендикулярно оси Х.

3. Произведите необходимые преобразования заданных активных сил: равномерно рас-

пределенную нагрузку по закону прямоугольника – ее равнодействующей, приложенной в середине участка распределения нагрузки.

4. Освободите балку от опор, заменив их действие реакциями опор, направленными вдоль

выбранных осей координат.

5. Составьте уравнения равновесия статики таким образом и в такой последовательности,

чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор.

6. Проверьте правильность найденных опорных реакций по уравнению, которое не было

использовано при решении задачи.

Пример 2. Определите реакции опор балки.

F=10кН

а)

М=10 кН·м

q=5кН/м

В

А

45⁰

ℓ₁= 1м

ℓ₂=1м

ℓ₃=2м

У

R_В

б)

М

R_Ау

F

q

R_Ах

А

В

Х

С

К

45⁰

2q

1м

1м

2м

Рисунок 2 – Схема нагружения балки

1. Изображаем балку с действующими на нее нагрузками.

2. Изображаем оси координат.

3. Равнодействующая 2q равномерно распределенной нагрузки, приложенная в точке пе-

ресечения диагоналей прямоугольника рисунок 2б., переносится по линии своего действия в середину участка КВ, в точку С.

4. Отбрасываем опорные закрепления и заменяем их действия реакциями рисунок 2б.

5. Составляем уравнения статики для полученной системы сил:

1.ΣM_А=0,

М+F·1+2q·3-R_B·4·cos45⁰=0, (1)

2.ΣMв=0,

М+R_Ay·4-F·3-2q·1=0, (2)

3.ΣF_ix=0,

R_Ax - R_B·cos45⁰=0, (3)

Решаем полученную систему уравнений и определяем неизвестные реакции опор.

Из уравнения (1) выражаем и определяем неизвестную реакцию R_B:

R_B=(М+F·1+2q·3) / 4·cos45⁰=(10+10·1+2·5·3) / 4·0,7071=17,678 кН

Из уравнения (2) выражаем и определяем неизвестную реакцию R_Ay:

R_Ay=(-М+F·3+2q·1)/4=(-10+10·3+2·5·1)/4=7,5 кН

Из уравнения (3) выражаем и определяем неизвестную реакцию R_Aх:

R_Ax=R_B·cos45⁰=17,678·0,7071=12,5 кН

6. Выполняем проверку

ΣF_iу=0,

R_Ay-F-2·q+R_B·cos45⁰=0,

7,5-10-2·5+17,678·0,7071=0,

0≈0