Тема 1.1.2.1. Системы сходящихся сил

Система сил, линии действия которой лежат в одной плоскости и все пересекаются в одной точке, называется плоской системой сходящихся сил.

Сложение плоской системы сходящихся сил. Силовой многоугольник

F₄

F₃

F₂

F₁

F₁

F₂

F₃

F₄

F_Σ

О

О

А

В

С

Д

ОАВСД – силовой многоугольник, замыкающая сторона ОД является равнодействующей силой. Она направлена из начала первого вектора в конец последнего.

Геометрическое условие равновесия плоской системы сходящихся сил

Для того, чтобы плоская система сходящихся сил находилась в равновесии, необходимо, чтобы силовой многоугольник был замкнут (начало первого вектора совпадало с концом последнего, т.е. равнодействующая равна 0).

Проекция силы на ось

Осью называют неограниченную прямую, которой в пространстве приписано определённое направление.

Проекция силы на ось – отрезок оси, заключённый между перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора (скалярная величина).

Рассмотрим два случая:

α=1800–β Х FХ а b β В А F F А В С Х FХ а b β Сила составляет с положительным направлением оси острый угол.

Сила составляет с положительным направлением оси тупой угол.

Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением действия силы и положительным направлением оси.

Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси

Формула для определения модуля силы через её проекции на оси координат

Аналитическое условие равновесия плоской системы сходящихся сил

Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, когда алгебраические суммы проекций всех сил на две взаимно перпендикулярные оси равны 0.

Уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил

Алгоритм решения задачи №1

1. Выделите объект равновесия, т.е. точку, равновесие которой в данной задаче следует

рассмотреть. Обычно за объект равновесия принимают ту точку, к которой приложены все заданные силы и реакции связей.

2. К выделенному объекту равновесия приложите заданные силы.

3. Выделенную точку освободите от стержневых связей и вместо них приложите реакции

связей.

4. Выберите координатные оси таким образом, чтобы одна из осей прошла через одну из реакций, а затем составьте уравнения равновесия, используя условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости 1.ΣFix = 0; 2.ΣFiу = 0.

5. Решите составленные уравнения и определите реакции стержней.

6. Выполните проверку. Для этого заново выберите оси координат и составьте одно уравнение равновесия на любую из осей х₁ или y₁.

Пример 1. К кронштейну АВС в точке В подвешены два груза F₁=3кН, F₂=1кН, как указано на рисунке 1а. Стержень кронштейна ВА образует с вертикальной стенкой угол

α= 30⁰, стержень ВС – угол β= 60⁰. Пренебрегая трением на блоке Д, определите реакции стержней ВА и ВС. Массой стержней пренебречь.

А

а)

б)

α=30⁰

В

Д

90⁰

F₂

β= 60⁰

F₁

С

Рисунок 1 – Схема кронштейна

Выделяем в качестве объекта равновесия узел В. Прикладываем к нему заданные силы F₁, F₂. При этом сила F₂ будет приложена к узлу В горизонтально, так как передается через неподвижный блок Д, который изменяет направление силы, но не влияет на ее величину. Освободим узел В от связей, т.е. отбросим стержни ВА и ВС и приложим их реакции R_ВА, R_ВС. Эти реакции направлены от узла В, как показано на рисунке 1б., это соответствует предположению, что оба стержня ВА и ВС растянуты. Выбираем координатные оси таким образом, чтобы одна из них прошла через одну из реакций. Находим углы наклона сил к осям х и у.

Составляем уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил:

1.ΣFix = 0,

R_ВС + F₁ cos 60⁰ – F₂ cos 30⁰ = 0, (1)

2.ΣFiу = 0,

R_ВА - F₁ cos 30⁰ – F₂ cos 60⁰ = 0 (2)

Решаем полученную систему уравнений и определяем неизвестны реакции стержней.

Из уравнения (1) выражаем и определяем неизвестную реакцию R_ВС:

R_ВС = -F₁ cos 60⁰ +F₂ cos 30⁰ = -3·0,5 + 1·0,867 = - 0,633 кН

Знак минус перед численным значением реакции R_ВС показывает, что стержень ВС в действительности не растянут, а сжат.

Из уравнения (2) выражаем и определяем неизвестную реакцию R_ВА:

R_ВА = F₁ cos 30⁰ + F₂ cos 60⁰ = 3·0,867 + 1·0,5 = 3,1 кН

Знак плюс перед численным значением показывает что стержень АB, как и предполагалось, растянут силой R_ВА = 3,1 кН.

Решение задачи следует обязательно проверять. Лучшим способом проверки может быть решение с использованием иных координатных осей. Заново выбираем оси координат х₁ и у₁ и составляем уравнение на любую из осей координат.

ΣFix₁ = 0,

F₂ - R_ВА cos 60⁰ - R_ВС cos 30⁰ = 0,

1 – 3,1·0,5 – (-0,633) ·0,867 = 0,

1 – 1,55 + 0,55 = 0,

0 = 0

Вторую и третью задачи следует решать после изучения темы 1.1.2.2. Системы произвольно расположенных сил.

Во всех задачах требуется определить реакции опор балок. Учащимся необходимо приобрести навыки определения реакций опор, так как с этого начинается решение задач по сопротивлению материалов и деталям машин.