Задание 4

3. Тестовое задание состоит из 10 вопросов, предусматривающих ответы «да» или «нет». Предположим, тестируемый не знает ответ ни на один из вопросов и выбирает ответы наугад. Какова вероятность того, что: а) он даст не менее 8 правильных ответов, необходимых для сдачи теста; б) найдите наиболее вероятное число правильных ответов, которые даст тестируемый, и вероятность получения этого наиболее вероятного числа ответов.

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли , где р=q= =0,5, так как он не знает ответов, а вариантов ответов всего два;

Событие А – {он даст не менее 8 правильных ответов, необходимых для сдачи теста, т.е. 8, 9 либо 10}

Наиболее вероятное число правильных ответов, которые даст тестируемый, в схеме Бернулли определяется следующим двойным неравенством:

.

, т.е.

0,246094

Ответ: а) 0,054688; б) 5; 0,246094.

Задание 5

3. Вероятность возвращения клиентом банковского кредита в установленный договором срок равна 0,5. Определить вероятность того, что из 100 выданных кредитов, будут возвращены в установленный договором срок: а) ровно 80 кредитов; б) от 80 до 100 кредитов.

Решение:

а) событие А – {из 100 выданных кредитов, будут возвращены в установленный договором срок: а) ровно 80 кредитов}, воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа

По таблицам значений функции плотности распределения нормальной случайной величины находим j (6)≈ 0.

б) событие В – {из 100 выданных кредитов, будут возвращены в установленный договором срок: б) от 80 до 100 кредитов}, воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа при n = 130; p = 0,55; q =1 – 0,55= 0,45; k₁ =80; k₂ =130

По таблицам значений функции (интеграл вероятности) находим F (6) = 0,5, F (10) = 0,5.

Таким образом, 0,5 – 0,5≈0

Ответ: а) 0; б) 0.

Задание 6

3. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе пять библиотек. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение полученной случайной величины.

Решение:

Для вычисления вероятностей воспользуемся формулой: , где р=0,3; q=1 – p=1 – 0,3=0,7; n= 5 библиотек

х₁ – {студент посетил одну библиотеку и книга в ней была свободна} 0,3

х₂ – {студент посетил две библиотеки} 0,21

х₃ – {студент посетил три библиотеки} 0,147

х₄ – {студент посетил четыре библиотеки} 0,1029

х₅ – {студент посетил пять библиотек} Так как задача имеет конечное число посещений библиотек, т.е. в 4-х книга была занята, поэтому вероятность того, что она была свободна в 5-ой равна 0,2401

1) Ряд распределения случайной величины

xi	1	2	3	4	5	Σ
pi	0,3	0,21	0,147	0,1029	0,2401	1

2) Математическое ожидание

1·0,3+2·0,21+3·0,147+4·0,1029+5∙0,2401=2,7731

Дисперсия

1²·0,3+2²·0,21+3²·0,147+4²·0,1029+5²∙0,2401² – 2,7731²=2,4218

Среднее квадратическое отклонение

1,5562