16

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Ф.СКОРИНЫ»

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Теория вероятностей и математическая статистика

Выполнила:

Проверила:

ГОМЕЛЬ 2014

Задание 1

10. В магазине имеется 17 автомобилей определенной марки. Среди них: 8 – черного цвета, 9 – серого цвета. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 6 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета. Какая вероятность того, что среди проданных автомобилей: а) все автомобили черного цвета; б) все автомобили одного цвета; в) 4 автомобиля черного цвета.

Решение:

Воспользуемся классическим определением вероятности события А – {среди проданных автомобилей: а) все автомобили черного цвета} , где m – число благоприятных исходов; n – число всевозможных исходов.

Определим число способов выбора 6 взятых наудачу автомобилей из 17 имеющихся – выборка неупорядоченная без возвращения.

Число способов определим по формуле , 12376.

Определим число способов выбора 6 взятых наудачу автомобилей из 8 чёрных , 28.

0,00226

Определим вероятность события В – {среди проданных автомобилей: б) все автомобили одного цвета, т.е. либо все чёрные, либо серые}.

0,00905

Определим вероятность события С – {среди проданных автомобилей: в) 4 автомобиля черного цвета}.

0,20362

Ответ: а) 0,00226; б) 0,00905; в) 0,20362.

Задание 2

10. Каждый из пяти частных предпринимателей закупает партию некоторого товара, и реализуют ее на рынке города независимо друг от друга. Вероятность того, что первый частный предприниматель реализует всю закупленную партию продукции в течение времени , равняется 0,75, второй – 0,7, третий – 0,85, четвертый – 0,75. Найти вероятность того, что: а) все частные предприниматели реализуют закупленную продукцию за время ; б) только 3 частных предпринимателя реализуют закупленную продукцию за время ; в) хотя бы один частный предприниматель реализуют закупленную продукцию за время .

Решение:

Введем события:

А – {все частные предприниматели реализуют закупленную продукцию за время Т}. По теореме умножения независимых событий Р(А)=р₁∙p₂∙p₃∙p₄=0,75∙0,7∙0,85∙0,75=0,3346875;

В – {только 3 частных предпринимателя реализуют закупленную продукцию за время Т}, т.е. все

=0,75∙0,7∙0,85∙0,25+0,75∙0,7∙0,15∙0,75+ 0,75∙0,3∙0,85∙0,75+ 0,25∙0,7∙0,85∙0,75=0,425625

С – {в) хотя бы один частный предприниматель реализуют закупленную продукцию за время Т} вероятность противоположного события q₁∙q₂∙q₃∙q₄=(1 – 0,75)∙(1 – 0,7)∙(1 – 0,85)∙(1 – 0,75)=0,25²∙0,3∙0,15=0,0028125

Р(С)=1 – 1 – 0,0028125=0,9971875

Ответ: а) 0,3346875; б) 0,425625; в) 0,9971875

Задание 3

3. Страховая компания делит застрахованных по классам риска: первый класс – малый риск, второй класс – средний риск, третий класс – большой риск. Среди всех клиентов 30 % – первого класса, 40 % – второго класса, 30 % – третьего класса. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса равняется 0,02, для второго класса – 0,01, для третьего класса – 0,03. Какая вероятность того, что клиент получит страховое вознаграждение. Клиент получил вознаграждение, какова вероятность того, что он относится к 1-му классу риска.

Решение:

Введем события:

А – {клиент получит страховое вознаграждение}

Н₁ – {клиент первого класса}

Н₂ – {клиент второго класса}

Н₃ – {клиент третьего класса}

Р(Н₁)=0,3 (30%)

Р(Н₂)=0,4

Р(Н₃)=0,3

Р(А/Н₁)=0,02

Р(А/Н₂)= 0,01

Р(А/Н₃)= 0,03

а) Вероятность того, что клиент получит страховое вознаграждение, определим по формуле полной вероятности Р(А)=Р(Н₁)∙Р(А/Н₁)+Р(Н₂)∙Р(А/Н₂)+Р(Н₃)∙Р(А/Н₃)=0,3∙0,02+0,4∙0,01+0,3∙0,03=0,019

б) Вероятность того, что он относится к 1-му классу риска, определим по формуле Байеса Р(Н₁/А)=Р(Н₁)·Р(А/Н₁)/Р(А)=0,3∙0,02/0,28=0,3158

Ответ: а) 0,019; б) 0,3158.