1.6. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис.13) перемещается другой точечный заряд Q₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы на элементарном перемещении равна

.

Так как d cosα=dr, то

.

Работа при перемещении заряда Q из точки 1 в точку 2

(1.12)

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек.

Из формулы (1.12) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замк­нутому пути L, равна нулю, т.е.

.

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути равна , где Е₁ = Е cosα - проекция вектора на на­правление элементарного перемещения. Тогда формулу (1.13) можно записать в виде

. (1.14)

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности элек­тростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

3 Билет Потенциал электростатического поля

. (1.18)

Потенциал φ в какой-либо точке электростатического поля есть фи­зическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положи­тельного заряда, помещенного в эту точку.

Из формул (1.18) и (1.19) следует, что потенциал поля, создаваемого то­чечным зарядом Q, равен

. (1.19)

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q_o из точки 1 в точку 2 (см. (1.15), (1.18), (1.19)), может быть представ­лена как

, (1.20)

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

(1.21)

Таким образом, потенциал - физическая величина, определяемая ра­ботой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность.

единица потенциала - вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В =1 Дж/Кл).

Из формул (1.17) и (1.18) вытекает, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме по­тенциалов всех этих зарядов:

.

Связь напряженности с потенциалом. Эквипотенциальные поверхности

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической ха­рактеристикой поля

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены беско­нечно близко друг к другу и x₂-x₁= x, равна E·Q· х. Та же работа равна . Приравняв оба выражения, можем записать

, (1.22)

.

где , , - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента следует, что выражение можно записать как

, или , (1.23)

где - набла-оператор. Следовательно, напряженность E поля равна градиенту потенциала со знаком минус.

Знак минус определяется тем, что вектор напряженности поля направ­лен в сторону убывания потенциала.

Вычисление разности потенциалов по напряженности поля

Установленная связь между напряженностью поля и потенциалом позво­ляет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плос­кости определяется формулой Е= , где - поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях xi и х₂ от плоскости (используем формулу (1.22)), равна

2. Поле двух бесконечных параллельных разно­ именно заряженных плоскостей определяется формулой Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d (см. (1.22)), равна

. (1.24)

3. Поле равномерно заряженной сферической по­верхности радиуса R с общим зарядом Q вне сферы (г > R) вычисляется

по формуле

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях п и г₂ от центра сферы (г_} > R, r₂ > R), равна

. (1.25)

Рис. 15

Если принять и то потенциал поля внесферической поверхности задается выражением (ср. с формулой (1.19)). График зависимости приведен на рис. 15

4. Поле равномерно заряженного цилиндра радиуса R, заряженного с линейной плотностью х, вне цилиндра (г > R) определяется фор­мулой . Следовательно, разность потенциалов между двумя точка-

ми, лежащими на расстояниях и от оси заряженного цилиндра (r >R, r >R), равна

. (1.26)