14. Применение вычетов.

Лемма Пусть f(z) C (|z|>R₀ Imz>0), за исключением конечного числа изолированных особых точек и |f(z)|<M/|z| ^{1+ }, >0. Тогда  f( =0. (C'_R - полуокружность |z|=R Imz>0).

Замечания. 1.    Если условия Леммы 18.1 выполнены при ₁<arg z< ₂ , то  f( )d =0. (C'_R - дуга окружности, лежащая в данном секторе: |z|=R ( ₁<arg z< ₂)) 2.    Условия Леммы 18.1 будут выполнены, если f(z) является аналитической в окрестности z , которая является нулем не ниже второго порядка для f(z). Теорема. Пусть f(x) задана при - <x< и аналитическое продолжение f(z) на Im z 0, имеющее конечное число изолированных особых точек z _n , не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы . Тогда несобственный интеграл I-го рода  f(x)dx=2 i Выч[f(z),z _n].

Пример. f(z)= ;  f(z)dz= =2 iВыч[ ,ei /n]=(z0=ei /n -полюс 1-порядка)= =2 i/(nei (n-1)/n)=-2 i/(ne-i /n ). С другой стороны,

f(z)dz= f(z)dz+ f( )d + f(z)dz .При R второе слагаемое  0 (по Замечанию 1 к Лемме ) . В третьем слагаемом z=xe ^{i2 /n} (f( xe ^{i2 /n})=f(x)) . Устремив R , получим  f(x)dx-e^{i2 /n} f(x)dx= (1-e^{i2 /n}) f(x)dx=-2 i/(ne^{-i /n}) => f(x)dx=-2 i/[(ne^{-i /n}) (1-e^{i2 /n})]= /(n sin /n).

Лемма (Жордана). Если f(z) C (|z|>R₀ Imz>0) за исключением конечного числа изолированных особых точек и f(z)=>0 при |z| (равномерно по arg z, 0 arg z ), z Imz>0, то при a>0  e^{ia }f( )d =0, C'_R - полуокружность |z|=R Imz>0.

Теорема Пусть f(x) задана при - <x< и аналитическое продолжение f(z) на Im z 0, имеющее конечное число изолированных особых точек z _n , не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы Жордана . Тогда  e^iaxf(x)dx=2 i Выч[e ^iazf(z),z_n ], где z _n - изолированные особые точки в верхней полуплоскости Im z 0.

Пример.  (k>0, a>0)= =  == Re iВыч[ ,ia] =(z₀ = ia -полюс 1-порядка)= Re i(e^-ka/2ia)= e^-ka/2a.

Определение . Функция комплексной переменной f(z) называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов. Некоторые интегралы 1.  =sign(a) /2 2.    I= , 0<a<1; I= Выч[z ^a-1f(z),z_k] 3.    I= , 0<a<1; I= Выч[z ^a-1(1-z)^-af(z),z_k], a₀= f(z). 4.    I= f(x)ln(x)dx= i Выч[f(z)(lnz-i /2),z_k]

Пусть f(z) C ( \z₁,:z_N), z_n- полюса и f( ) _ 0. Тогда   - правильная и  f( ) _ . Определение. Функция  (z)=f'(z)/f(z)=[ln f(z)]' называется логарифмической производной функции f(z). Вычеты  (z) в ее особых точках z_n называются логарифмическими вычетами. Особыми точками  (z) будут нули z⁰_k и полюса z_k функции f(z). Как считать вычеты? a)    Пусть z⁰_k - нуль порядка n функции f(z); => f(z)=(z-z⁰_k)ⁿf₁(z), f₁(z⁰_k) 0 => =>  (z)=n/(z-z⁰_k)+f'₁(z)/f₁(z) => Выч[ (z),z⁰_k]=n. b)    Пусть z_k - полюс порядка p функции f(z);=> f(z)= (z)/(z-z_k)^p ,  (z_k) 0 => =>  (z)=-p/(z-z_k)+  '(z)/ (z) => Выч[ (z),z_k]=-p. Теорема Если f(z) C ( \z₁,:z_N), z_n- полюса и f( ) _ 0, то  =N-P, где N- полное число нулей f(z) с учетом кратности, P- полное число полюсов f(z) с учетом кратности.

Принцип аргумента. Разность между полным числом нулей и полюсов функции f(z) в области g определяется числом оборотов, которое совершает очка w=f(z) вокруг точки w=0, при положительном обходе точкой z контура  .

Теорема Руше Если f(z),  (z) C ( ) и |f(z)| >| (z)|  , то N[f+ ]_g=N[f]_g.

Основная теорема высшей алгебры. Полином n-ой степени имеет на комплексной плоскости ровно n нулей (с учетом их кратности).