9.Числовые и функциональные ряды

Пусть дана последовательность  . Составим S_n= a_k- частичная сумма, составим последовательность частичных сумм  и рассмотрим  a_k - числовой ряд. Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если сходится {S_n}╝ S. Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда a_k=S. Необходимый и достаточный признак сходимости: Критерий Коши сходимости числовой последовательности : для >0  N( ): | S_n+m-S_n|<для n N и m>0. Отсюда следует Необходимый признак сходимости ряда (Но не достаточный!) : a_n 0 при n . .

Определение. Если  |a_k|< (сходится) , то ряд называется абсолютно сходящимся. Очевидно, что если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Обратное, вообще говоря, неверно. Например,  ряд  (-1)^k/k  сходится, тогда как ряд  1/k- расходится, Достаточными критериями абсолютной сходимости рядов являются признаки Даламбера и Коши. Признак Даламбера.  Если начиная с некоторого номера  N выполняется неравенство  |a_n+1/a_n| L<1 для n N, то ряд  |a_k| сходится. Если начиная с некоторого N  |a_n+1/a_n| 1 для n N, то ряд  a_k расходится. Признак Даламбера в предельной форме. Если  |a_n+1/a_n|=L, то при L<1 ряд  |a_k| сходится, при L>1 ряд a_k расходится,при L=1 ничего сказать нельзя.

Признак Коши. Если начиная с некоторого   N  L<1 для n N, то ряд  |a_k| сходится. Если начиная с некоторого N  1 для n N, то ряд  a_k расходится. Признак Коши в предельной форме. Если  =L, то при L<1 ряд  |a_k| сходится,при L>1 ряд a_k   расходится,при L=1 ничего сказать нельзя.

Пусть дана последовательность  , z g. Выражение  u_k(z)- называется функциональным рядом, заданным в g. Определение.Если при z g, соответствующий числовой ряд сходится к определенному комплексному числу w(z), то в g определена f(z)=w, которая называется суммой функционального ряда, а сам ряд называется сходящимся в g.

Если ряд сходится в g, то >0  N(,z): | r_n(z)| <для n N( ,z).

Необходимый и достаточный признак сходимости: Критерий Коши: для >0  N( ,z): | S_n+m(z)-S_n(z)| <для n N и m>0. Вообще говоря, в каждой точке z g N свое: N=N( ,z) и общего N для всей z может и не существовать.

Если для >0  N()  что | r_n(z)| <для n N() и  z одновременно, то ряд . u_k(z) называется равномерно сходящимся к функции f(z) в g. Обозначение:  u_k(z)=>f(z).

Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости- критерий Коши: Если для >0  N( ):  | S_n+m(z)-S_n(z)| <для n N и m>0 и  z одновременно, то ряд . u_k(z)=>f(z).

Достаточный признак равномерной сходимости Вейерштрасса. (Мажорантный признак Вейерштрасса). Если |u_k(z)|<a_k, a_k>0 для k N и z g и  a_k< (сходится), то  u_k(z)=>f(z) в g.

Свойства равномерно сходящихся рядов: 1) Пусть u_k(z) С(g) и  u_k(z)=>f(z), тогда f(z) С(g).

2). Пусть u_k(z) С(g) и  u_k(z)=>f(z). Пусть С кусочно- гладкий контур C g конечной длины L:  ds=L, тогда f(z)dz= u_k(z)dz.

3) Теорема Вейерштрасса. Если u_k(z) C (g) и  u_k(z)=>f(z), для z  ' g, (для  любой замкнутой подобласти области g) то:    1.    f(z) C (g).    2.    f^(p)(z)= u_k^(p)(z), для z g.    3.  u_k^(p)(z)=>f^(p)(z), для z  ' g.

Пример.  Ряд z^k/k² сходится равномерно в круге |z|  1, а ряд из производных  z^k-1/k не может равномерно сходится в круге |z| 1 , т.к. он расходится при z=1. Ряд  z^k-1/k  равномерно сходится при |z|<1. II Теорема Вейерштрасса. Пусть u_k(z) C ( ) и  u_k( )=>f( ), для  g. Тогда  u_k(z)=>f(z), z .