Точка разрыва первого рода
Определение
Если
в точке
существуют
конечные пределы 
и 
,
такие, что 
,
то точка
называется точкой
разрыва первого рода.
Пример
Функция 
в
точке 
имеет
разрыв первого рода, так как
,
а 
Точка разрыва второго рода
Определение
Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.
Пример
Для
функции 
точка 
-
точка разрыва второго рода, так как 
.
Точка устранимого разрыва
Определение
Если
существуют левый
и правый пределы функции в
точке и они равны друг другу, но не
совпадают со значением функции
в
точке
: 
или
функция
не
определена в точке
,
то точка
называется точкой
устранимого разрыва.
Пример
Рассмотрим
функцию 
.
Найдем односторонние
пределы и
значение функции в точке
:
Так
как 
и
не равны значению функции в точке, то
точка
-
точка устранимого разрыва.
Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о прохождении функции через нуль и через промежуточное значение
Непрерывность функции на множестве
Функция 
, 
,
называется непрерывной на множестве 
,
или говорят, что функция
принадлежит множеству всех функций,
непрерывных на множестве
(сокр. 
),
если она непрерывна в каждой точке
множества
.
Например,
функция 
непрерывна
на множестве 
,
но не является непрерывной на 
,
поскольку в точке 
она
не задана.
Если функцию доопределить при , то – точка разрыва второго рода.
Выделим свойства функций, непрерывных на отрезках (на сегментах).
ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
В
сякая
функция, непрерывная на сегменте,
ограничена на нем, т.е. 
, 
; 
.
Приведем пример функции (заданной для удобства графически), иллюстрирую-щей содержание теоремы.
Обратное утверждение не имеет места, для этого достаточно указать соответствую-щий пример – контрпример.
К
онтрпример. 
Множество 
–
ограниченное, но функция не является
непрерывной на 
.
ПРИМЕРЫ на существенность условий теоремы
1.
Если
не является непрерывной на 
,
то множество значений ее может быть
неограниченным (заключение теоремы не
имеет места).
ПРИМЕР. 
на
имеет точку разрыва второго рода
;
множество 
–
неограниченное.
2. Если непрерывна на множестве , но – не является сегментом, то множество значений функции на может оказаться неограниченным.
ПРИМЕР. 
, 
.
Доказательство теоремы проведем методом от противного.
Пусть 
– неограниченное множество, т.е. 
.
Последовательность 
–
ограниченная и из нее можно
выделить
сходящуюся подпоследовательность,
т.е. 
.
Тогда
в силу предположения для
всякого 
и
при 
.
Но
по условию теоремы
непрерывна
в точке 
, 
,
и 
–
конечное число.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Формулировка[править | править исходный текст]
Пусть
дана непрерывная
функция на отрезке 
Пусть
также 
и
без ограничения общности предположим,
что 
Тогда
для любого 
существует 
такое,
что 
.
Доказательство [показать]
Следствия[править | править исходный текст]
(Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть
и 
Тогда 
такое,
что 
В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.
Замечание[править | править исходный текст]
Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называется первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой соответственно[1]. На самом деле они эквивалентны.
Обобщение[править | править исходный текст]
Теорема
Больцано — Коши допускает обобщение
на более общие топологические
пространства.
Всякая непрерывная функция 
,
определенная на связном топологическом
пространстве, принимающая какие-либо
два значения, принимает и любое лежащее
между ними. Формальная запись: пусть
дано связное топологическое пространство 
и
функция 
Пусть 
и 
Тогда
В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.