11. Предельный переход в функциональных неравенствах.

Теорема о предельном переходе в неравенстве.  Пусть  \\  тогда

Доказательство. (от противного)

Пусть  .

 - противоречие.

12. Непрерывность функции в точке. Определения непрерывности по Гейне и по Коши. Непрерывность функции в точке слева и справа. Локальные свойства непрерывных функций: ограниченность, сохранение знака.

 Определение: 

Функция  , определенная в некоторой окрестности точки  , называется непрерывной, если  

Определение(по Коши):

Определение (по Гейне):

Определение:

Функция   непрерывна , если    , то есть бесконечно маломуприращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x₀, если существует односторонний предел

lim x → x0 + 0  f(x) = f(x0).

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x₀ − δ, x₀].

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x₀, если существует односторонний предел

lim x → x0 − 0  f(x) = f(x0).

13. Элементарные функции. Непрерывность простейших элементарных функций. Примеры.

Целая и дробная рациональные функции. Непрерывность f(x)=const и f(x)=x непосредственно ясна. На основании теоремы о произведении непрерывных функций вытекает непрерывность любого одночленного выражения ax^m, по теореме о сумме непрерывных функций - непрерывность многочлена a₀xⁿ + a₁x_n-1 + ... +a_n-1 + a_n. Непрерывность данных функций имеет место на всем интервале  . Частное двух многочленов   непрерывно всюду, кроме точек b₀x^m + b₁x^m-1 +...+ b_m-1x + b_m = 0 (в этих точках - либо разрыв 2-го рода, либо устранимый разрыв).

Показательная функция y=a^x(a>1) монотонно возрастает на всем интервале  . Ее значения заполняют весь интервал  . Из существования логарифма следует непрерывность данной функции.

Логарифмическая функция  . Рассмотрим случай a>1. Эта функция возрастает при  , и принимает любое значение из  . Отсюда следует ее непрерывность.

Степенная функция  . При возрастании x от 0 до   возрастает   или убывает   на интервале  . Следовательно, данная функция непрерывна.

Тригонометрические функции  ,  ,  ,  ,  ,  . Остановимся на функции  . Ее непрерывность на отрезке   вытекает из ее монотонности, а также из факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает все значения от -1 до 1. То же относится к любому промежутку  . Следовательно, функция   непрерывна для всех значений x. Аналогично - для функции  . По свойствам непрерывных функций вытекает непрерывность функций  . Исключение для первых двух функций - значения x вида  , при которых  , для других двух - значения вида  , при которых  .

Обратные тригонометрические функции  ,  ,  ,  . Первые две непрерывны на  , остальные - на