21. Теорема о нуле производной (теорема Ролля).

Теорема Ро́лля утверждает, что если функция, имеющая производную на интервале, принимает в его концах равные значения, то её производная обращается в нуль в некоторой точке внутри интервала.

Формулировка  Править

Пусть дана непрерывная функция на отрезке  , и для любого   существует конечная или бесконечная производная  . Тогда если  , то

Следствия  Править

• Многочлен  -ой степени   может иметь не более   различных корней.

• Если многочлен степени выше второй   имеет ровно   различных корней, то его производная  имеет ровно   корень.

22. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).

Конечных приращений формула Лагранжа выражает связь между приращением любой непрерывной на отрезке [a; b] и дифференцируемой на интервале (а; b)  функции y = f(x) и значением ее производной: где с – некоторое число из интервала (а; b): a < c < b.

Г еометрический смысл формулы Лагранжа таков: на дуге графика данной функции, соединяющей точки (а; f(a)) и (b; f(b)), найдется точка (с;f(c)) (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги, – см. рис.

Часто формулу Лагранжа записывают в другой, эквивалентной форме: где Θ – неизвестное число, зависящее, вообще говоря, от х₀ и от Δх и удовлетворяющее неравенствам 0< Θ < 1.

Формула Лагранжа для функции многих переменных выглядит так: где 0< Θ < 1.

С помощью формулы Лагранжа можно доказать следующее ее обобщение  – теорему Коши о среднем значении: если функции f и g непрерывны на отрезке [a; b] и дифференцируемы на интервале (а; b), причем g’(x) ≠ 0 на (а; b), то на интервале (а; b) существует такая точка с, что 

23. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений). Формулировка

Если функции   и   непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем   во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка   такая, что

Доказательство

Рассмотрим функцию где число   выберем таким, чтобы выполнялось равенство   которое равносильно следующему: Заметим, что   так как в противном случае согласно Теореме Роллясуществовала бы точка   такая, что g’(c)=0 вопреки условиям данной теоремы. Из равенства   следует, что Так как функция   при любом   непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), а при значении  , определяемом предыдущей формулой, принимает равные значения в точках a и b, то по теореме Ролля существует точка   такая, что   т.е.   откуда   Из этого равенства и формулы   следует 

1. Замечание. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши 

2. Замечание. Теорему Коши нельзя получить используя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю.