Производная функции. Физический и геометрический смысл производной функции. Правая и левая производные функции в точке. Связь дифференцируемости и непрерывности функции в точке.
Рассмотрим произвольную внутреннюю точку x0 области определения функции y = f(x). |
Разность |
|
где x - также внутренняя точка области определения, называется |
приращением аргумента в точке x0. Разность |
|
называется |
приращением функции в точке x0, соответствующим приращению |
|
и обозначается |
|
Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения |
функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует и конечен, т.е. |
Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке
Физический смысл производной.
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:
Правой
производной 
функции 
в
данной точке 
называется
величина:
а левой производной - величина:
если эти пределы существуют.
Теорема
Для
того чтобы в точке 
существовала
производная 
,
необходимо и достаточно, чтобы в
точке
функция
имела
правую и левую производные, и эти
производные были равны между собой: 
.
ТЕОРЕМА 1. Если функция дифференцируема в точке X0, то она и непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно: функция F(X), непрерывная в точке, может не иметь производную в этой точке. Таким примером является функция У = |X|; она непрерывна в точке X = 0, но не имеет производной в этой точке.
Таким образом, требование дифференцируемости функции является более сильным, чем требование непрерывности, поскольку из первого автоматически вытекает второе.
Дифференцирование сложной функции и обратной функции. Производные суммы, разности, произведения и частного двух функций.
Пусть
теперь задана сложная
функция 
,
т.е. переменная 
есть
функция переменной 
,
а переменная
есть,
в свою очередь, функция от независимой
переменной 
.
Теорема. Если 
и 
дифференцируемые функции
своих аргументов, то сложная
функция
является
дифференцируемой функцией и ее производная
равна произведению производной данной
функции по промежуточному аргументу и
производной промежуточного аргумента по
независимой переменной:
.
Утверждение
легко получается из очевидного
равенства 
(справедливого
при 
и 
)
предельным переходом при 
(что
в силу непрерывности дифференцируемой
функции влечет 
).
Перейдем к рассмотрению производной обратной функции.
Пусть
на множестве 
дифференцируемая
функция 
имеет
множество значений 
и
на множестве
существует обратная
функция 
.
Теорема. Если
в точке 
производная 
,
то производная обратной функции
в
точке 
существует
и равна обратной величине производной
данной функции:
,
или
.
Эта формула легко получается из геометрических соображений.
Т
ак
как 
есть
тангенс угла наклона касательной
линии 
к
оси 
,
то 
есть
тангенс угла наклона той же касательной
(той же линии 
)
в той же точке 
к
оси 
.
Если 
и 
острые,
то 
,
а если тупые, то 
.
В
обоих случаях 
.
Этому равенству и равносильно равенство
.
Производная суммы (разности) функций
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.
Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,
Производная произведения функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и
Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.
Производная частного функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле
Формулы дифференцирования простейших элементарных функций. Примеры.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.
.
(справедлива
для любого конечного числа слагаемых).
.
.
а) 
.
б) 
.
Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.
Доказательство формулы 3.
Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx).
Тогда
Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv.
Следовательно,
.
Доказательство формулы 4.
Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому
Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x).
Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(x+Δx)→u(x), v(x+Δx)→v(x), при Δx→0.
Поэтому можем записать
На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.
Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,
y ' = u '·(v·w) + u·(v ·w) ' = u '·v·w + u·(v '·w +v·w ') = u '·v·w + u·v '·w + u·v·w '.
Доказательство формулы 5.
Пусть 
. Тогда
При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x) при Δx→0.
Примеры.
Если
,
то 
y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найдем y '(–1).
y ' = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y '(–1) = 14.
y = ln x · cos x, то y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x – ln x · sin x.
Таким образом,
Аналогично для y= ctgx,
