129 Определение точек разрыва второго рода

1) не существует предела слева  ;

2) не существует предела справа 

Если же имеет место либо случай 1, либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва   называется точкой разрыва второго рода

128 Определение точек разрыва первого рода

3) пределы слева   и справа   существуют, но не равны друг другу:  ;

4) пределы слева   и справа   существуют и равны друг другу:  , но не совпадают со значением функции в точке  :  , или функция   не определена в точке  .

Если имеет место либо случай 3, либо случай 4, то точка разрыва   называется точкой разрыва первого рода

127 Определение точки разрыва функции

Точка   называется точкой разрыва функции  , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки   (то есть определена на некотором интервале, для которого   служит внутренней точкой, но в самой точке  , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) не существует предела слева  ;

2) не существует предела справа  ;

3) пределы слева   и справа   существуют, но не равны друг другу:  ;

4) пределы слева   и справа   существуют и равны друг другу:  , но не совпадают со значением функции в точке  :  , или функция   не определена в точке  .

126 Теорема о непрерывности сложной функции

Пусть функция j(t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=j(t₀). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t₀.

125 Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции

Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки t0 и имеет  , равный х0. Пусть точка   принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х0. Тогда существует , и  .

124 Замечательные пределы

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известныхматематических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

123 Теорема об устойчивости знака непрерывной в точки функции

Пусть функция   непрерывна в точке   и  . Тогда существует положительное число  такое, что всюду в  –окрестности точки  , функция   имеет тот же знак, что .