3. N ejvětší společný dělitel, nejmenší společný násobek

Největší společný dělitel x skupiny přirozených čísel a, b, c je takový společný dělitel těchto čísel, který je ze všech společných dělitelů největší. Zapisujeme: D(a, b, c) = x

Největší společný dělitel čísel a, b, c je součin mocnin těch prvočísel, která se vyskytují zároveň ve všech prvočíselných rozkladech čísel a, b, c; přitom exponent každého prvočísla je nejmenší exponent vyskytující se u tohoto prvočísla v rozkladech čísel a, b, c.

P říklad 4:

Najděte největšího společného dělitele čísel 32, 48, 96.

Řešení:

1. způsob: pomocí množin dělitelů

Najdeme společné dělitele . Největší společný dělitel je číslo 16.

2. způsob: pomocí prvočíselných rozkladů

32 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2⁵

48 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 = 2⁴ . 3

96 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 = 2⁵ . 3

Hledáme všechna prvočísla, která se vyskytují ve všech třech rozkladech.

C vičení 4:

1. Určete D(60, 75). [15]

2. Určete D(135, 420). [15]

3. U rčete D(108, 132, 180). [12]

Nejmenší společný násobek x skupiny přirozených čísel a, b, c je ten společný násobek těchto čísel, který je ze všech společných násobků nejmenší. Zapisujeme: n(a, b, c) = x.

Nejmenší společný násobek čísel a, b, c je součin mocnin všech prvočísel, která se vyskytují aspoň v jednom prvočíselném rozkladu čísel a, b, c; přitom exponent každého prvočísla je největší exponent vyskytující se u tohoto prvočísla v rozkladech čísel a, b, c.

Příklad 5:

Najděte nejmenší společný násobek čísel 6, 21, 28.

Řešení:

1. způsob: pomocí množin násobků

Nejmenší společný násobek je číslo 84.

2. způsob: pomocí prvočíselných rozkladů

6 = 2 . 3

21 = 3 . 7

28 = 2 . 2 . 7

Výsledek musí obsahovat všechna různá prvočísla z jejich rozkladů, a to vždy v nejvyšší mocnině.

C vičení 5:

1. Určete n(28, 32). [224]

2. Určete n(105, 140). [420]

3. Určete n(18, 24, 30). [360]

2. Poměr, trojčlenka, procenta

Trojčlenka představuje mnemotechnický postup, jak rychle vyřešit úlohy na přímou a nepřímou úměrnost. Trojčlenka se používá při jednoduchých výpočtech přímé a nepřímé úměrnosti. Většinou známe tři na sobě závislé údaje a máme vypočítat čtvrtý. V trojčlence musíme přímou a nepřímou úměru pečlivě rozlišit, má totiž rozdílné výpočty. Přímá úměrnost znamená, že čím více je věcí A, tím více je věcí B. Například čím více koupíme propisek, tím více nás to bude stát. Čím více lidí se zúčastní zájezdu, tím větší zisk má cestovní kancelář. Nepřímá úměra funguje přesně opačně. Čím více je věcí A, tím méně je věcí B. Typicky čím více lidí pracuje na stavbě altánku, tím dříve je altánek dokončen. Čím více stránek knihy přečtete, tím méně stránek vám zbývá do konce.

Trojčlenkou nazýváme úlohu, která obsahuje dvojice na sobě závislých veličin (přímo nebo nepřímo). Veličiny se zapíší do určitého schématu, šipkami se vyjádří příslušné závislosti (souhlasně orientovanými šipkami přímá úměrnost, nesouhlasně orientovanými šipkami nepřímá úměrnost). Z praktických důvodů pro snadnější výpočet je vhodné začínat psát šipky vždy u proměnné x. Trojčlenku můžeme řešit různými způsoby, nejčastější je pomocí úměry nebo „přes jednotku“. Trojčlenku budeme používat k výpočtům nejen přímé a nepřímé úměrnosti, ale ukážeme si její využití u příkladů s měřítky map a při výpočtech procent.

1. Poměr

P orovnáme-li dvě veličiny podílem, nazýváme příslušný zápis poměr. 

Podíl a : b, kde a > 0, b > 0, nazýváme poměr čísel a a b. Číslo a nazýváme první člen poměru, číslo b je jeho druhý člen. Čteme a ku b. Převrácený poměr k poměru a : b je poměr b : a (poměry jsou navzájem převrácené). Pokud jsou oba členy poměru vyjádřeny nesoudělnými přirozenými čísly, říkáme, že poměr je v základním tvaru.

Užití:

• změna v daném poměru

• dělení v daném poměru

• měřítko plánu a mapy

P říklad 1:

Dřevěnou tyč dlouhou 3,3 m rozdělte v poměru 4 : 7.

Řešení:

Tyč rozdělíme tak, že první kus bude představovat 4 stejné díly a druhý kus 7 stejných dílů, tedy dohromady 11 dílů.

3,3 m rozdělíme nejprve na 11 dílů  3,3 : 11 = 0,3

První kus měří 0,3 . 4 = 1,2 m.

Druhý kus měří 0,3 . 7 = 2,1 m.

Při dělení celku v daném poměru musíme členy poměru sečíst a součtem dělit velikost celku; tím zjistíme velikost jednoho dílu. Touto hodnotou pak už jen vynásobíme členy poměru a získáme požadované údaje.

P říklad 2:

Rozměry obdélníku jsou 45 cm a 50 cm. Jaké bude mít obdélník rozměry na výkresu v měřítku 3 : 5.

Řešení:

Měřítko 3 : 5 vyjadřuje zmenšení v daném poměru. Rozměry získáme tak, že dané rozměry násobíme zlomkem .

Zmenšený obdélník bude mít rozměry 27 cm a 30 cm.

C vičení 1:

1. Rovnostranný trojúhelník má délku strany 1,5 cm. Jaké bude mít rozměry zvětšíme-li je v poměru 4 : 3? [2 cm]

2. Rozdělte:

1. 132 ořechů v poměru 3 : 8; [36; 96]

2. prádelní šňůru délky 42 m v poměru 4 : 3; [24 m; 18 m]

3. 45 minut v poměru 2 : 7 [10 min; 35 min]

4. 7,8 kg rybízu v poměru 7 : 6. [4,2 kg; 3,6 kg]

3. V trojúhelníku ABC se velikost vnějšího úhlu při vrcholu C rovná 126°. Velikost vnitřních úhlů α, β při vrcholech A, B jsou v poměru 5 : 9. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů α, β,  trojúhelníku ABC. [45°, 81°,54°]