4. A bsolutní hodnota reálného čísla

Definice absolutní hodnoty: Absolutní hodnota čísla je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku. Absolutní hodnota může být definována i následovně: Pro každé reálné číslo a je absolutní hodnota tohoto čísla rovna: je-li pak ; je-li pak

Vlastnosti čísel s absolutní hodnotou:        Pokud počítáte příklady, kde se vyskytují absolutní hodnoty, musíme při výpočtu uvažovat následující vlastnosti: pro všechna reálná čísla a platí: ; je-li , potom se ; je-li , potom se ; pro všechna reálná čísla a platí: ; pro všechna reálná čísla a, b platí: ; pro všechna reálná čísla a, b, platí: ; pro všechna reálná čísla a platí: ; pro všechna reálná čísla a, b platí: ; pro všechna reálná čísla a, b platí:

P říklad 6:

Na číselné ose znázorněte všechna reálná čísla, pro něž platí:

Řešení:

a )

b )

c )

P říklad 7:

Nalezněte množinu, která odpovídá dané nerovnosti: |x - 1| ≤ 2

Řešení:

Zadaná nerovnost nám ve skutečnosti říká „Vzdálenost x od 1 je menší nebo rovna 2“. Tedy víme, že středem intervalu je číslo 1. Odečtením a přičtením 2 ke středu intervalu získáme dva body na ose. Pokud má být vzdálenost menší nebo rovna dvěma, pak je jasné, že hledaný interval je přesně ten mezi dvěma body na ose a v jeho středu je 1. Protože krajní body díky rovnosti mohou patřit do intervalu, jedná se o interval uzavřený .

C vičení 3:

1. Znázorněte na číselné ose a zapište řešení:

2. Znázorněte na číselné ose a zapište řešení:

2. Elementární teorie čísel

1. Násobek a dělitel čísla

Zápis čísla můžeme pomocí pojmů násobek a dělitel vyjádřit čtyřmi způsoby:

Číslo 56 je násobkem čísla 7.

Číslo 56 je násobkem čísla 8.

Číslo 7 je dělitelem čísla 56.

Číslo 8 je dělitelem čísla 56.

Součin dvou čísel je násobkem každého z těchto čísel.

Pojmy násobek a dělitel pro množinu přirozených čísel a, b definujeme:

Číslo a je násobkem čísla b (číslo b je dělitelem čísla a), právě když existuje přirozené číslo x takové, že .

Přirozená čísla nazýváme nesoudělná, je-li jejich společným dělitelem pouze číslo 1. Přirozená čísla jsou soudělná, mají-li společného dělitele většího než 1.

V úlohách o dělitelnosti často potřebujeme určit všechny dělitele daného čísla. Jak je najdeme? Každé číslo větší než 1 má dva dělitele – číslo 1 a samo sebe. Nejmenší dělitel každého čísla je tedy číslo 1. Dále dělíme postupně čísly 2, 3, 4 … a zjišťujeme, zda podíl vyjde beze zbytku. Pokud ano, zapíšeme ho pod dělitele.

P říklad 1:

Určete všechny dělitele čísla 42.

Řešení:

1	2	3	6	7	14	21	42
42	21	14	7	6	3	2	1

Obě barevné části tabulky jsou si rovny, takže stačí pracovat pouze s jednou částí tabulky.

C vičení 1:

1. Upravte dané zlomky na základní tvar:

.

2. Určete množiny všech dělitelů čísel: