Početní operace s čísly
Věta o uzavřenosti (U) oboru vzhledem ke sčítání a násobení.
Věta o asociativnosti (A) sčítání a násobení.
Věta o komutativnosti (K) sčítání a násobení.
Věta o neutrálnosti (N) čísla 1 vzhledem k násobení.
Věta o distributivnosti (D) násobení vzhledem ke sčítání.
P řirozená čísla
Pro každá tři přirozená čísla a, b, c platí: a + b je přirozené číslo (U) a . b je přirozené číslo (U) a + (b + c) = (a + b) + c (A) a . (b . c) = (a . b) . c (A) a + b = b + a (K) a . b = b . a (K) 1 . a = a (N) a(b + c) = ab + ac (D) |
C elá čísla
Pro každá tři celá čísla a, b, c platí: a + b je celé číslo (U) a . b je celé číslo (U) a – b je celé číslo (U) a + (b + c) = (a + b) + c (A) a . (b . c) = (a . b) . c (A) a + b = b + a (K) a . b = b . a (K) 0 + a = a (N) 1 . a = a (N) a(b + c) = ab + ac (D) |
Ke každému celému číslu a existuje takové celé číslo (– a), že platí a + (– a) = 0. Čísla a a (–a) se nazývají čísla navzájem opačná.
P
říklad
1:
Vypočítejte co nejúsporněji:
Řešení: Využijeme věty (A), (K) a (D) a pravidla pro výpočty číselných výrazů.
C
vičení
1:
V Arabské poušti byla naměřena teplota + 57 °C, ve východní Sibiři
78
°C. Jaký je rozdíl teplot? [135 °C]Nejvyšší hora světa Mount Everest měří 8 847 m. Největší hloubka moře byla naměřena u Filipín 10 899 m. Vypočítejte výškový rozdíl. [19 746 m]
Pokladní měla ráno v pokladně hotovost 5 000 Kč. Během dne postupně vydala dvakrát 253 Kč, přijala 18 Kč, třikrát přijala 72 Kč, vydala 118 Kč a čtyřikrát vydala 95 Kč. Jaký byl stav hotovosti na konci pracovní doby? [4 230 Kč]
Racionální čísla
Všechna čísla této množiny lze zapsat ve tvaru zlomku
,
kde p je celé číslo a q je přirozené číslo.
Racionální číslo v základním tvaru je zlomek, ve kterém jsou p a q čísla nesoudělná (jejich společným dělitelem je pouze číslo jedna).
Slovo racionální používáme ve významu poměrový, podílový.
Pro každá tři racionální čísla a, b, c platí: a + b je racionální číslo (U) a . b je racionální číslo (U) a – b je racionální číslo (U) a : b, kde b 0, je racionální číslo (U) a + (b + c) = (a + b) + c (A) a . (b . c) = (a . b) . c (A) a + b = b + a (K) a . b = b . a (K) 0 + a = a (N) 1 . a = a (N) a(b + c) = ab + ac (D) |
Porovnávání
racionálních čísel: racionální čísla zapsaná zlomky
v základním tvaru porovnáváme na základě srovnání
součinů ps,
qr:
,
právě když ps
< qr,
,
právě když ps
= qr,
,
právě když ps
> qr.
P říklad 2:
Porovnejte zlomky
.
Řešení: 7 . 9 = 63, 12 . 5 = 60
Platí 63 > 60, tzn.
.
Pro libovolná dvě racionální čísla
|
platí: 
R acionální čísla zapisujeme ve tvaru:
zlomku
,desetinného čísla
,nekonečného periodického desetinného rozvoje s vyznačenou periodou
.některá racionální čísla zapisujeme jako čísla smíšená (čísla větší než jedna nebo menší než minus jedna). Například číslo
což
je zlomek v základním tvaru, můžeme zapsat jako smíšené
číslo
(čteme: osm a dvě třetiny).
P říklad 3:
Převeďte zlomky na desetinná čísla:
Řešení:
Příklad 4:
Daná desetinná čísla vyjádřete zlomkem v základním tvaru:
.
Řešení:
P říklad 5:
Vypočítejte:
Řešení:
C vičení 2:
Vypočítejte:
[
]Vypočítejte:
[
]Vypočítejte:
[
]Vypočítejte:
[0]Vypočítejte:
[
]Vypočítejte:
[1]
Reálná čísla
Reálnými čísly nazýváme čísla, která vyjadřují hodnoty veličin, délky úseček, čísla k nim opačná a nulu. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla.
Reálná čísla jsou sjednocení racionálních a iracionálních čísel:
racionální – lze je zapsat ve tvaru zlomku,
iracionální – nelze zapsat ve tvaru zlomku.
Iracionální čísla jsou nepodílová čísla:
lze zapsat pouze nekonečným neperiodickým desetinným rozvojem,
v praxi se nahrazují desetinnými čísly zaokrouhlenými na zvolený počet desetinných míst (dle požadované přesnosti),
při jejich porovnávání je nejdříve vhodně zaokrouhlíme na dostatečný počet desetinných míst.