5.6. Вычислительные модели (численные методы)

В ряду вычислительных моделей (численных методов) решения стохастических задач к центральным относятся биномиальные модели и триномиальные модели¹, метод Монте-Карло, а также дюрация.

Обратим внимание на различие в схемах биномиальной модели для стандартных и экзотических опционов (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Схема биномиальных моделей

Рядом с биномиальной моделью используется и триномиальная модель. Более подробно эти модели будут рассмотрены в учебнике далее (где речь пойдет о ценах на опционы).

Метод Монте-Карло определяется как совокупность способов, ведущих к моделированию значений в будущем переменной величины на основе имитации ее поведения.

Реализация этого метода содержит следующие последовательно выполняемые действия (шаги, этапы компьютерных программ):

выявление стохастического характера входной переменной и определение распределения вероятности для входной (входных) переменных;

имитация изменений входной переменной;

выполнение моделирования;

многократное повторение моделирования для выявления средней получаемых величин;

дисконтирование будущей стоимости моделируемой переменной;

повышение точности результатов моделирования за счет применения дополнительных приемов уменьшения дисперсии.

Для выявления распределения вероятностей входной (входных) переменной принимается – на первом шаге – условие совпадения с эмпирическими показателями распределения относительных частот (частностей) случайной переменной; строится график кумулятивного распределения частот (функция вероятности дискретной случайной переменной или функция плотности вероятности для непрерывных случайных величин).

Второй шаг состоит в моделировании поведения входных случайных переменных; находится достаточно большое число равномерно распределенных случайных чисел в интервале от 0 до 1, затем каждое случайное число откладывается по вертикальной оси графика кумулятивной плотности (предыдущий шаг), соответственно значения случайной переменной находятся на горизонтальной оси (входные величины для данной модели).

Третий шаг – моделирование основной переменной, выявление средней величины искомой (основной) переменной во множестве испытаний, проведенных согласно логике наблюдаемой системы.

Следующими действиями становится многократное повторение процессов, осуществленных на предыдущем шаге. Средняя будущих значений этих испытаний становится модельным будущим значением случайной переменной. Текущее значение переменной определяется дисконтированием будущего значения по выбранной ставке.

Завершением моделирования по методу Монте-Карло является попытка повысить точность оценки с помощью дополнительных приемов (возможно с применением антитетического метода случайной величины либо метода контроля случайной величины).

Дюрация – специальный способ расчета показателя для оценки сравнительной эффективности вложений в процентные инструменты, прежде всего в твердопроцентные обязательства (облигации). В результате расчета образуется синтетический (кумулятивный) показатель, отражающий процентный риск и риск, связанный с процентным

риском. По содержанию показатель дюрации представляет собой выражение времени (срока) между вложением денежных средств и получением по данной инвестиции дохода (протяженность), взвешенного по приведенным стоимостям полученных платежей.

Дюрация позволяет произвести сравнение значений эффективности (риска) для двух и более принятых (возможных) процентных вложений. Интерпретация показателя дюрации включает суждение, что его более низкие значения свойственны для инструментов с более высокой купонной доходностью, более высокой текущей доходностью и более сжатым сроком погашения денежного долга (и наоборот). Соответственно если фактическая доходность от данного вложения во времени возрастает, то становятся для инвестора менее важными потоки денежных средств в отдаленном будущем, так как он получит большую часть долга в ближайшее время (показатель дюрации снижается), и наоборот.

Дюрация рассматривается и как выражение ценообразующего фактора для процентных вложений (чем ниже показатель дюрации, тем слабее ценовая чувствительность инструмента к изменениям в рыночных процентных ставках, а также в фактической доходности и фактических сроках погашения).

Если в тот или иной момент времени (текущее или будущее время) при хозяйственных действиях предпринимателя показатель дюрации актива оказывается больше показателя дюрации соответствующего пассива, то риски для данного предпринимателя и для участников сделок с ним становятся существенными, и чем больше будет величина разрыва в том же направлении, тем значительнее риски (процентный, платежеспособный).

На базе дюрации строится защитная стратегия иммунизации: сопоставление ожидаемого времени владения долговым инструментом с расчетным показателем дюрации и принятие решения для сближения этих значений (устранение несовпадения).

В расчетах дюрации привлекает отсутствие необходимости в исторических (прошлых) данных. По своему содержанию метод дюрации – статический метод.

Авторство основной формулы расчета показателя дюрации принадлежит экономисту и математику Ф. Макколи (F. Macaulay). B записи, соответствующей содержанию показателя:

где dur – средневзвешенное время до погашения (к погашению);

n – число периодов выплат;

t – срок, когда наступает время выплаты по каждому из периодов (последовательно – один год, два года, три года и т.п.);

C_t – выплаты в процентах за период t;

r – текущая доходность до погашения (к погашению);

P – рыночная цена инструмента (в трактовке данного подхода).

Следовательно, согласно формуле (5.15) средневзвешенное время до погашения (к погашению) – это значения периодов процентных выплат (с t\ до t_n), умноженные на долю стоимости инструмента, выплачиваемую в каждый из этих периодов (для выявления приведенных стоимостей использованы значения текущей доходности и специальная трактовка рыночной цены). Соответственно показатель дюрации не может быть больше принятого срока погашения (либо, если расширить применение этого показателя, срока реализации, исполнения). Например, если по облигации с нулевым купоном (дисконтом) платеж производится в день погашения в сумме номинала, то значение дюрации равно принятому сроку погашения. Для облигаций с купоном (при периодических выплатах дохода) средневзвешенное время погашения (значение дюрации) будет меньше принятого срока займа.

В расчетах показателя дюрации принята определенная последовательность действий:

составляется перечень периодов, на которые приходятся выплаты по условиям вложения;

рассчитываются платежные денежные потоки;

определяются коэффициенты дисконтирования для каждого периода, с тем чтобы найти приведенную стоимость денежных потоков;

вычисляются веса для каждой отдельной (по периодам)· приведенной стоимости (доля от суммарной приведенной стоимости);

для определения показателя дюрации срок, когда наступает время выплаты, по каждому из периодов (последовательно, например, один год, два года, три года и т.д.; один квартал, два квартала и т.п.) умножается на соответствующий вес приведенной стоимости (в суммарной приведенной стоимости), исчисленный на предыдущем шаге, и полученные результаты складываются. Итог показывает величину дюрации.

Сумма приведенных стоимостей последовательных платежей составляет цену инструмента, а сумма весов всегда равна 1.

Приведем пример расчета показателя дюрации¹ (табл. 5.1).

Итог графы 4 отражает рыночную цену облигации; итог графы 6 – показатель дюрации по данной облигации. При принятых условиях данной облигации инвестор может возместить затраты и получить устойчивый доход за 2,7834 года.

Результатом анализа дюрации может стать решение о хеджировании с использованием производных инструментов.

При применении показателя дюрации необходимо иметь в виду (по меньшей мере) следующие пожелания:

целесообразен постоянный контроль за структурой портфеля вложений и его эффективный ремонт, с тем чтобы не допустить чрезмерной длительности срока хеджирования (ситуация дрейфа дюрации);

криволинейная зависимость между ценой инструмента и текущей доходностью при значимых колебаниях может приводить к существенным погрешностям в анализе; для оценки этих погрешностей введен изгиб – пространство между кривой цена – доход и касательной к этой кривой; имеется ряд правил оценки "изгиба".

Таблица 5.1

Расчет показателя дюрации трехлетней облигации с купонной доходностью 8% (в год), при текущей доходности (r) 8,11%

Срок выплаты (по периодам), годы	Процентный платеж, % Ct	Коэффициент дисконтирования 1 (1+r)t   (десятичные значения)	Приведенная стоимость % платежа Ct (1+r)t   (гр.2 · гр.3)	Вес приведенных стоимостей Ct (1+r)t   / P	Взвешенные сроки выплат, годы (гр. 1 · гр. 5)
1	2	3	4	5	6
1	8	0,925	7,399	0,0742	0,0742
2	8	0,8556	6,845	0,0686	0,1372
3	108	0,7914	85,47	0,8572	2,572
Итого	-	-	99,714	1,0000	2,7834

Чаще в анализе и при принятии решений используется не стандартный показатель дюрации, а модифицированная дюрация (измеряемая в %):

где Y – текущая доходность, в %;

f – частота процентных выплат в течение года.

Если продолжать предыдущий пример, где выплаты происходят не внутри года, а по годам, то показатель будет:

Модифицированный показатель интерпретируется следующим образом: если текущая доходность (процентная ставка) изменится на 1%, то цена инструмента изменится на 2,57% (с соответствующим знаком). Это хорошо увязывается с принятым выражением рыночной цены в расчетах дюрации.

¹ Биномиальные и триномиальные модели исследуют стохастические процессы в дискретном времени для дискретных переменных в рамках марковских процессов.

Марковский процесс предполагает, что при известном настоящем будущее не зависит от прошлого.

¹ Пример заимствован из кн.: Де Ковни Ш., Такки К. Стратегия хеджирования: Пер. с англ. – M.: Инфра-М, 1996. – С. 19.