13)Свойства функций непрерывных в точке

1)Если f(x), g(x) – непрерывны в точке x₀, то f(x) ± g(x); f(x)•

g(x); f(x)/g(x) (g(x) ≠ 0) – также непрерывны в точке x_0.

Докажем, что F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в точке x₀

Дано: f(x) и g(x) – непрерывны в x₀ Û lim f(x) = f(x₀); lim g(x) = g(x₀)

^{X ® Xo X ® Xo}

lim (f(x)•g(x)) = limf(x)•lim g(x) (по свойству предела функции) = f(x₀

)•g(x₀) (по

^{X ® Xo X ® Xo X ® Xo}

определению непрерывности) ® F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в x₀.

2) f(x) – непрерывна

в точке x₀, существует такая окрестность точки

f(x₀) > 0 x₀

, во всех точках которой f(x) > 0.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

След. »

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897) - немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие - .

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке , то образуется некоторая окрестность точки .

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения и , что , причем .

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например - ).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция - непрерывная на отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где .

Т.е. если , то .

Определение. Функция называется равномерно непрерывной на отрезке , если для любого существует такое, что для любых точек и таких, что верно неравенство .

Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое , не зависящее от , а при “обычной” непрерывности зависит от и .

Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918) - немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Свойство 7: Если функция определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть. в точке функция непрерывна в точке

точка разрыва 1 - го рода

14)Задачи, приводящие к понятию производной Задача о скорости. Пусть некоторая материальная точка совершает неравномерное движение вдоль прямой. Путь пройденный телом зависит от времени по закону . Зафиксируем некоторый момент времени , за это время был пройден путь , за время будет пройден путь . Тогда за время тело пройдет путь . Отношение – средняя скорость за промежуток времени . Будем стремить к нулю. В таком случае говорят о предельной скорости и называют мгновенной скоростью тела в момент времени . Задача о касательной. Рассмотрим другую задачу, связанную с построением касательной к кривой. На некоторой кривой зафиксируем точку . Возьмем некоторую произвольную точку и будем стремить ее по кривой в точке . Проведем секущую . При движении к секущая будет поворачиваться вокруг точки и займет свое предельное положение, когда . Определение 1. Касательной к данной кривой в данной точке называется предельное положение секущей при стремлении точки к точке . Рассмотрим случай, когда кривая задана функцией . (Рис. 29) Придадим аргументу приращение , тогда приращение функции составит . Очевидно, что когда , угол стремится к углу . , тогда при получаем, что .

15)Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Теорема. Если функция дифференцируема в точке X, то она и непрерывна в этой точке. Обратное не гарантировано. Доказательство. Пусть функция Дифференцируема в точке X. Это значит, что ее производная существует и конечна в точке X. То есть Существует и конечен. По определению предела это значит, что при . То есть при малых имеем , откуда , причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньше . Устремляя в нем , получаем, что и . А это, в силу (2.5) главы 3, и означает непрерывность функции в точке X. Первая часть теоремы доказана. Обратно, если функция непрерывна в некоторой точке X, то это еще не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция , график которой изображен на рис. 4.7, непрерывна в любой точке X, ибо её график сплошной (без разрывов). И тем не менее в точках X1, X2 и X3, как было показано выше, она не дифференцируема.

16)Вычисление производной функции  у = f(x)  производится по следующей схеме: 1) Находим приращение функции на отрезке   : 2) Делим приращение функции на приращение аргумента: 3) Находим предел    устремляя    к нулю. Переход к пределу мы будем записывать с помощью знака  lim:

 

Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда

1. Константу можно выносить за знак производной.

Пример

Больше примеров решений →

2. Производная суммы/разности.

Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

Пример

Больше примеров решений →

3. Производная произведения.

Пример

Больше примеров решений →

4. Производная частного.

Пример

Больше примеров решений →

5. Производная сложной функции.

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргумента по основному аргументу .

и имеют производные соответственно в точках и . Тогда

Теорема

(О производной обратной функции)

Если функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой точке, то обратная функция имеет производную в точке , причем .