26. Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение для непрерывной случайной величины, свойства числовых характеристик.
Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется число
Замечание: Если же возможные значения непрерывной случайной величины ξ принадлежат лишь отрезку [а;b], то
Иногда математическое ожидание случайной величины ξ обозначают через mx.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины
Пример . Непрерывная случайная величина ξ задана плотностью вероятности:
Найти М[ξ].
27. Числовые характеристики случайной величины (мода, медиана, квантили, моменты).
Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины:
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется число
З амечание: Если же возможные значения непрерывной случайной величины ξ принадлежат лишь отрезку [а;b], то
Иногда математическое ожидание случайной величины ξ обозначают через m или a.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины
Пример . Непрерывная случайная величина ξ задана плотностью вероятности:
Н айти М[ξ].
Мода, медиана, коэффициент вариации
Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики, например, мода, медиана, коэффициент вариации.
Модой Мо называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.
Медианой Ме называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
(Если
число вариант нечетно, т. е. n = 2k+1,то Ме
=
xk+1
;
если число вариант четно, т. е. n = 2k , то
)
Коэффициентом вариации называют величину равную
Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большое рассеяние по отношению к выборочной средней, у которого коэффициент вариации больше.
Пример:Из генеральной совокупности извлечена выборка
Найти:
· выборочные моду,
· медиану,
· коэффициент вариации.
Решение.
· Наибольшую частоту 7 имеет варианта х = 3, следовательно, Mо = 3.
· Т. к. объем выборки n=20, т. е. число вариант четно, то
29. Равномерное непрерывное распределение, функция распределения и плотность, вывод математического ожидания и дисперсии.
Непрерывная случайная величина ξ имеет равномерное распределение, если на промежутке, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение, т.е.
Из
условия нормировки непрерывной случайной
величины следует
Таким
образом
Функция распределения равномерной случайной величины
Числовые характеристики равномерного распределения:
Пример. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при вычислении будет сделана ошибка, меньшая 0,02.
Решение.
Ошибку округления при вычислении рассматриваем как непрерывную случайную величину ξ, имеющую равномерное распределение, причем
