20) Гипергеометрическое распределение. Формула вероятности, интерпретация, математическое ожидание, дисперсия.

Гипергеометри́ческое распределе́ние  моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

,

	вытянутые	не вытянутые	всего
с дефектом	k	D − k	D
без дефекта	n − k	N + k − n − D	N − D
всего	n	N − n	N

Типичный пример представлен вышестоящей таблицей: осуществлена поставка из N объектов, из которых D имеют дефект. Гипергеометрическое распределение описывает вероятность того, что в выборке из n различных объектов, вытянутых из поставки, ровно k объектов являются бракованными.

Гипергеометрическое распределение это модификация биномиального распределения приспособленного к случаю конечной совокупности из N объектов, в которой среди m извлеченных (например из урны) объектов M обладает заданным свойствов.

Мат. ожидание и дисперсия

(Мат. ожидание) (Дисперсия)

21. Гипергеометрическое распределение. Формула вероятности, интерпретация, пример, математическое ожидание, дисперсия.

Из урны, содержащей M белых и (N–M) черных шаров, вынимается n шаров. Случайная величина ξ = m – число белых шаров среди вынутых. Распределение случайной величины, допускающей такую интерпретацию называется гипергеометрическим.

Формула для вероятности

где m=0;1;2;..., max(n, M).

Числовые характеристики гипергеометрического распределения

_{Пусть проводятся испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха p в единичном испытании. Случайная величина ξ = m – номер испытания в котором произошел первый успех. Распределение случайной величины, допускающей такую интерпретацию называется геометрическим. Формула для вероятности}

_{где q=1–p и m=1, 2, ... , n, …}

_{Числовые характеристики геометрического распределения}

22. Распределение Пуассона. Формула вероятности, интерпретация, математическое ожидание с выводом, дисперсия.

Дискретная случайная величина ξ=m имеет распределение Пуассона, если ее ряд распределения задается формулой

Числовые характеристики биномиального распределения

Если число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании мала, то вместо сложного биномиального распределения пользуются приближенно распределением Пуассона:

где a = nр, n велико и p мало.

Пример . База отправила в магазин 500 изделий, веро-ятность повреждения изделия в пути 0,002. Найти веро-ятность того, что в пути будут повреждены 5 изделий.

Решение.

По условию n=500, p=0,002, m=5, следовательно, a=np= =5000,002=1, тогда

25. Двумерная дискретная случайная величина, вид закона распределения, условие нормировки, распределения составляющих величин, пример.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины

Случайная величина (ξ;η) называется дискретной, если ξ и η дискретные случайные величины. Простейшей формой закона распределения дискретной (ξ; η) является таблица распределения, т.е. перечень возможных значений (х_i;y_i) и их соответствующих вероятностей

p_ij = p(x_i;y_j) = P(ξ=x_i;η=y_j),

где i=1,2,...,n; j=1,2,...,m.

Y\X	x1	x2	...	xi	...	xn
y1	p11	p21	...	pi1	...	pn1	P1
y2	p12	p22	...	pi2	...	pn2
...	...	...	...	...	...	...
yj	p1j	p2j	...	pi j	...	pnj
...	...	...	...	...	...	...
ym	p1m	p2m	...	pim	...	pnm

У словие нормировки

Введем законы распределения составляющих

Пример . Дано распределение двумерной случайной величины

Найти законы распределения составляющих случайных величин ξ и η.

Решение.

Действительно,

Р(ξ=26)=Р(ξ=26; η =2,3)+Р(ξ=26; η =2,7)=0,05+0,09=0,14;

Р(ξ=30)=Р(ξ=30; η =2,3)+Р(ξ=30; η =2,7)=0,12+0,30=0,42;

аналогично найдите Р(ξ=41) и Р(ξ=50).

А налогично находим

Действительно,

P(η=2,3)=P(ξ=26;η=2,3)+P(ξ=30;η=2,3)+P(ξ=41;η=2,3)+P(ξ=50;η=2,3)=0,05+ 0,12+0,08+0,04=0,29;

аналогично найдите Р(η =2,7).

(Проверьте выполнение условия нормировки в каждом распределении).4