12) Теорема Пуассона в схеме Бернулли, доказательство

Теорема 15   (теорема Пуассона⁽¹⁾). Пусть   и   так, что  . Тогда для любого   вероятность получить   успехов в   испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха   стремится к величине  :

Доказательство. Положим  . Тогда   и

(8)

В соотношении (8) мы воспользовались тем, что   и замечательным пределом  .

13. Теорема Пуассона в схеме Бернулли с доказательством.

 Пусть   и   так, что  . Тогда для любого   вероятность получить   успехов в   испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха   стремится к величине  :

Доказательство. Положим  . Тогда   и

(8)

В соотношении (8) мы воспользовались тем, что   и замечательным пределом  . Докажем последнее свойство:

14. Интегральная теорема Муавра-Лапласа, формулировка, пример использования – задача о поезде.

Интегральная формула Муавра - Лапласа

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р ( 0<p<1 ) , событие А наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раз, приближенно равна:

Пример . Вероятность ошибки в каждом из ста счетов равна 0,2.Найти

• вероятность того, что ошибки имеются в 20 счетах;

• вероятность того, что число счетов с ошибками заключено между

числами m₁=20 и m₂=30.

Решение.

n=100, m=20, p=0,2, q=0,8, npq=1000,20,8=16

15. Интеграл Лапласа – функции ф и ф0, свойства функций с доказательствами.

Интегральная формула Муавра - Лапласа

В ероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р ( 0<p<1 ) , событие А наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раз, приближенно равна:

Свойства функции Ф(x), Φ₀(x)

1) .

2)

3) , нечетная функция.

4) только возрастают.

5) График.

Определение функций Ф(x), Φ₀(x)

Пример. Вероятность ошибки в каждом из ста счетов равна 0,2.Найти

• вероятность того, что ошибки имеются в 20 счетах;

• вероятность того, что число счетов с ошибками заключено между

числами m₁=20 и m₂=30.

Решение.

• n=100, m=20, p=0,2, q=0,8, npq=1000,20,8=16

Пример. Задача о поезде.

В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит один раз в сутки).

16) Функция распределения одномерной случайной величины, определение, вывод свойств (включая формулу вероятности попадания в промежуток).

Случайной величиной ξ в данном опыте называется переменная величина, которая в результате испытания примет одно из своих возможных значений, но какое именно до проведения опыта неизвестно.

Спектр - совокупность всех возможных значений случайной величины.

Дискретный спектр - все возможные значения случайной величины образуют конечную или бесконечную последовательность.

Непрерывный спектр - все значения случайной величины заполняют сплошь некоторый промежуток.

Функцией распределения F(x) случайной величины ξ называется вероятность того, что случайная величина ξ в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

F(x)=P(ξ<x).

Свойства F(x):

1) область определения F(x) - интервал (-бескон; +бескон))

2) 0 < F(x) £ 1,

3) F(-¥)=0, т.к. P(ξ<- ¥)=P(Q)=0,

4) F(+¥)=1, т.к. P(ξ<+ ¥)=P(W)=1,

5) F(x)- неубывающая функция.

Будем считать, что F(x) непрерывна слева

Вероятность попадания случайной величины в промежуток и в точку

О сновное свойство функции распределения

Р(a£ξ<b)=F(b)-F(a).

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал равна разности значений функции распределения в концах интервала