41. Вывод выборочного уравнения прямой линии регрессии.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии

• (x_i, y_i)

• k и b подбираются так, чтобы сумма квадратов расстояний от наблюдаемых точек до точек на прямой была минимальной

Метод наименьших квадратов

Оценка определяется из условия минимизации суммы квадратов отклонений выборочных данных от определяемой оценки.

Пример: Найти оценку МНК для генеральной средней

МНК широко применяется в задачах корреляционного и регрессионного анализа.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии

• Найдем минимум функции

• Отсюда

• Итого

42. Проверка статистических гипотез, гипотеза о виде распределения, χ2-критерий Пирсона.

Гипотеза о виде распределения

χ²-критерий Пирсона

1. Выбираются точки

2. Согласно выдвинутой гипотезе о виде распределения – функция распределения F(x) известна – вычисляются вероятности попадания в интервалы

3. Обозначим – число тех x_i из выборки, которые попали в промежуток

4. Тогда при справедливости основной гипотезы случайные величины имеют полиномиальное распределение с вероятностями p_i

Теперь ставится задача проверки гипотезы о том, что частоты ν_i получены из полиномиального распределения с вероятностями p_i.

Статистика

Теорема. Распределение χ_n² при n стремящемся к бесконечности сходится к χ²-распределению с (r-1) степенью свободы.

Критерий Пирсона c²

Статистика U имеет х и квадрат распределение с k = m-r-1 степенями свободы.

Эмпирические частоты Теоретические частоты

Схема применения критерия

1. Выбирают предполагаемый закон распределения и находят его параметры (оценки параметров)

2. Определяются теоретические частоты, соответствующие опытным частотам. (n_i > 10).

3. Определяется статистика c²

4. Для выбранного уровня значимости a находят критическое значение

5. 

Проверка гипотез о числовых значениях параметров

Проверка гипотез о законе распределения

Вид закона распределения:

• теоретические предпосылки

• опыт аналогичных исследований

• графическое изображение эмпирического распределения

Критерий согласия:

• расхождение между опытными и теоретическими частотами несущественно и являются следствием случайности результатов единичных наблюдений или отбора отдельных элементов

• расхождения существенны, теоретический закон распределения подобран неудачно

Применение критерия согласия

Случайная величина с известным теоретическим законом распределения , характеризующая степень расхождения теоретического и эмпирического распределений.

Если вероятность b мала, то это означает в соответствии с принципом практической уверенности, что такие как в опыте, и большие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу Н₀ отвергают.

(обычно считают малой вероятность < 0,01)

Критерий Колмогорова

Схема применения:

1. Строятся эмпирическая функция распределения F_n(x) и предполагаемая теоретическая функция распределе-ния F(x).

2. Определяется мера расхождения между теоретичес-ким и эмпирическим распределением D и вычисляется

3. отвергается. не противоречит опытным данным

Критические значения критерия Колмогорова

Замечание: В принципе применение критерия возмож-но только при полном задании теоретической функции распределения F(x).

Если задают только вид функции, а за значения пара-метров берут их оценки, то получим завышенное значе-ние вероятности P(l), а значит и большее критическое значение l_a. В результате есть риск в ряде случаев при-нят нулевую гипотезу Н₀ как правдоподобную, в то вре-мя как она противоречит опытным данным.

Проверка гипотез об однородности выборок

Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том, что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются 2 независимые выборки, произведенные из генеральных совокупностей с неизвестными теорети-ческими функциями распределения F₁(x) и F₂(x).

Критерий Колмогорова – Смирнова

Нулевая гипотеза отвергается

Нулевая гипотеза не проти-воречит опытным данным

Замечание: практически