1. Алгебра и σ-алгебра множеств, аксиомы теории вероятностей.

Алгеброй множеств S называется такая система подмножеств универсального множества W, что

1) W Î S, Ø Î S

2) " A, B Î S Þ A+B Î S, AB Î S, A\B Î S.

σ-алгеброй множеств S называется такая система подмножеств универсального множества W, что

1) W Î S, Ø Î S

2) " A, B: A\B Î S.

3) A₁, A₂, …A_n, … Î S Þ (A₁ +A₂+ …+A_n+ …) Î S,

(A₁ A₂ …A_n, …) Î S,

Аксиомы теории вероятностей

Вероятностным пространством называется тройка

(W, S, P), где

• – универсальное множество

S – его σ-алгебра

P – функция из S в множество действительных чисел, удовлетворяющая свойствам

1) P(A) ≥ 0; Всякому событию из поля события ставят в соответствие некоторое неотрицательное число, которое называют его вероятностью

2) P(W) = 1; Вероятность достоверного события принимается равной единице

3) Если a1, a2, …An, … не пересекаются, то

P(A₁ +A₂+ …+A_n+ …) = P(A₁) + P(A₂) + …+P(A_n)+ … (аксиома сложения). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей каждого

Аксиома 4. Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий А1, А2, …,Аn , то вероятность этого события  равна сумме вероятностей каждого         .

Следствия: 1. Вероятность противоположного события равна 1 за вычетом вероятности прямого события ; Доказательство                ; . 2. Вероятность невозможных событий равна 0 Доказательство . 3. Вероятность любого события лежит в пределах

0 <= Р(Аi) <= 1.

2. Классическая и геометрическая вероятности. Определение (интерпретация аксиом), примеры.

Классическая вероятность

Пространство  состоит из конечного числа равновероятных элементарных событий Е₁, Е₂,...,Е_n.

Элементарное событие называется благоприятным событию А, если его появление влечет появление события А. Пусть m - число благоприятных для А элементарных событий, n - число всех элементарных событий. Тогда

Действительно, Р(Е₁+Е₂+...+Е_n)=Р()=1, так как события несовместны, то

Р(Е₁) + Р(Е₂) +...+ Р(Е_n) =1 (1).

По условию события равновозможные, следовательно,

Р(Е₁) = Р(Е₂) =...= Р(Е_n) (2).

Из равенств (1) и (2) следует, что Р(Е₁)=Р(Е₂) =…

=Р(Е_n) =

Найдем

Р(А) = Р(Е₁ + Е₂ +... + Е_m) = Р(Е₁)+Р(Е₂)+...+Р(Е_m) =m/n

Пример:

Опыт - бросание игральной кости

Событие А - выпадение числа очков, кратного 3.

Найдем вероятность события А.

Решение:

A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₆

Всего случаев 6. Благоприятных из них 2, следовательно,

Геометрическая вероятность

Пространство  является ограниченной и измеримой областью в Rⁿ. Сигма-алгебра пространства есть совокупность всех измеримых подмножеств области .

Вероятность события А (вероятность попадания точки в множество А) пропорциональна его мере как множества

и не зависит от его расположения и формы.

Если мера всей области равна S, а мера части D области, попадание в которую благоприятствует появлению события А, равна S_D, то вероятность события А равна.

Геометрическая вероятность

На практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно.

Два студента условились встретиться в определенном месте между 18 и 19 часами. Пришедший первым ждет 15 мин и уходит. Определить вероятность встречи, если время прихода каждого независимо и равновозможно в течение указанного часа.

Решение примера 6:

Пусть х- время прихода одного студента, у- время прихода второго. Чтобы встреча состоялась, необходимо и достаточно, чтобы х - у  15,

т.е. -15  x - y  15. Область возможных значений - квадрат со стороной, равной 60. 

Область D – часть квадрата между прямыми

х – у = – 15 и х – у = 15. Следовательно,