Интегрирование выражений вида

9. Метод подстановки в неопределенных интегралах. Замена переменной в неопределенном интеграле

Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть  , тогда

Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство   остается справедливым и в случае, когда   — промежуточный аргумент, т.е.  . Это значит, что формула   верна и при  . Таким образом,

, или  .

Итак, если   является первообразной для   на промежутке  , а   — дифференцируемая на промежутке   функция, значения которой принадлежат  , то   — первообразная для  , и, следовательно,

Эта формула позволяет свести вычисление интеграла   к вычислению интеграла  . При этом мы подставляем вместо  переменную  , а вместо   дифференциал этой переменной, т. е.  . Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла   надо снова заменить   на  .

10.Формула интегрирования по частям.

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

или

для определённого:

Для неопределённого интеграла

Функции   и   гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во времяинтегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

Отсюда «следствие»:  , что очевидно неверно.

Ля определённого интеграла[править | править исходный текст]

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

Данные формулы справедливы, если каждая из функций   и   непрерывно дифференцируемы на области интегрирования.

11. Метод интегрирования рациональной дроби. Интегрирование рациональных дробей

Основная статья: Разложение дробей при интегрировании

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь  , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где   — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.