6. Определение дифференциации функции и вывод ее формулы.

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке  , а функция g имеет производную в точке  , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке  .

Производную функции y = f(kx + m) вычисляют по формуле:

f(kx + m)′ = kf ′(kx + m)

Пример 1. Найдем производную функции у = (3х + 4)².

Решение.

Из предыдущих разделов мы знаем, что

1) производная линейной функции равна коэффициенту k: (kx + m)′ = k;

2) производная х² равна 2х: (х²)′ = 2х.

Заметим, что теперь вместо х у нас сложный аргумент. Но производная вычисляется по той же схеме. Это значит, что производная нашего аргумента выглядит так: 2(3х + 4).

Чтобы найти производную от заданной функции, нам надо учесть все эти обстоятельства.

Итак,

1) в нашем примере производная линейной функции равна коэффициенту 3;

2) умножаем коэффициент на производную аргумента и получаем ответ:

((3х + 4)²)′ = 3 · 2(3х + 4) = 6(3х + 4).

Пример решен.

 

Вывод.

Легко заметить, что дифференцирование функции y = f(kx + m) на самом деле осуществляется одним действием: коэффициент k умножается на производную сложного аргумента.

7. Метод нахождения вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот. Виды асимптот графиков Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела  .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1. 

2. 

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела

.

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида   при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

1. 

2. 

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен  ), то наклонной асимптоты при   (или  ) не существует.

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами[править | править исходный текст]

Если при вычислении предела  , то наклонная асимптота совпадает с горизонтальной.

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при  , из этого следует что

1. Функция не может иметь наклонную асимптоту одновременно с горизонтальной при  , аналогично для  , но так же возможен случай когда и вовсе нет асимптот.

2. Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.

График функции с двумя горизонтальными асимптотами

Нахождение асимптот[править | править исходный текст]

Порядок нахождения асимптот[править | править исходный текст]

1. Нахождение вертикальных асимптот.

2. Нахождение двух пределов 

3. Нахождение двух пределов  :

если   в п. 2.), то  , и предел   находится по формуле горизонтальной асимптоты,  .

Наклонная асимптота — выделение целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция  .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

.

При    ,    ,   то есть:

,

и   является искомым уравнением асимптоты.

8. Метод замены переменной при интегрировании..

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл   Сделаем подстановку   где   — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда   и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой: