6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

Область определения функции.

Сов-ть знач-й аргументы х для которых ф-я у определена называется ООФ

Область значений функции.

Сов-ть всех знач-й принимаемых к переменной у назыв ОДЗ

Способы задания функции.

1) аналитический – это задание ф-ии при помощи формул

2) Табличный – это с.з.ф при помощи таблиц. Примером такого задания является таблицы тригоном ф-й, логарифмов и т.д

3) Графический – графиком ф-ииy=f(x) называется множ-во точек в плоскости, координаты которых связаны с соотношениями.

Ф-я назыв нечетной, если для любых х и –х из обл ее определения выполняется рав-во f(-x)=-f(x)

Ф-яy=f(x) назыв четной, если для любых xи –x из области ее определения выполняется рав-во f(-x)=f(x)

Ф-я y=f(x)возрастает на интервале х, если для любых х₁, х₂ выполняется нерав-во f(x₁)<f(x₂) (то есть большему знач-ю аргумента соотв большее знач-е ф-ии)

Ф-я y=f(x) убывает на интервале х, если для любых х₁,х₂ выполн нерав-во f(x₁)>f(x₂)(то есть большему значению аргумента соотв меньшее знач-е ф-ии)

Ф-я y=f(x)назыв непр в т х₀, если сущ-ет предел =f(x) =0

Ф-яy=f(x) непр справа в точку х₀, если сущ-ет = f(x₀)

Ф-я y=f(x)назыв непрерывной слева в точке х₀, если сущ-ет предел f(-x) = f(x₀)

Ф-я y=f(x)тогда и только тогда непрерывна в точке х₀ слева и справа, то есть, когда выполн-ся след условия:

1) Ф-я y=f(x) определена в точке х₀ и все окрестности

2) сущ-ет предел значений ф-ии слева

3) сущ-еет предел знач-й ф-ии справа

Точка х₀назыв точкой разрыва ф-ии y=f(x) если выполняется хотя бы 1 из след условий

1) не сущ-ет предела слева

2) не сущ-ет предела справа

3) пределы слева и справа сущ-ют, но они не равны друг другу

4) предел слева и справа сущ-ют и равны друг другу, но не совпадают со значением ф-ии в точке х₀

Точки разрыва первого и второго рода.

Если имеет место 3 и 4 условие, то точка х₀ называется точкой разрыва 1 рода

Если имеет место 1 и 2 условие, то точка разрыва х₀назыв точкой разрыва 2 рода

9 Билет

Предел функции в точке.

По Каши: число в назыв пределом ф-и y=f(x) при х стремящ к а, если для любого полож числа Е сущ-ет такое полож число d, что при всех х не равн а таких что модуль Ix-aI<d выполняется нерав-во |f(x)-a|<E

По Гейне: Число в назыв пределом ф-ии y=f(x) при х стремящихся к а, если для любой последоват-ти х₁,х₂…х_nнаходящихся в а, последоват у_n=f(x_n)

Свойства пределов функции.

1) Предел постоянвелич-ы = самой постоян величине, то есть=С

2) Предел суммы 2 ф-ий равен сумме пределов этих ф-ий

3) предел проив-я ф-ии на постоян величину: пост коэффицент можно поместить за знак предела

4) предел произв-я 2-х ф-й = произ-ю пределов этих ф-й

5) предел частного 2-х ф-й = относительно этих ф-й при условии, что не равен 0

Правила нахождения пределов функции в точке.

Если , и если функции

f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки, то

правило Лопиталя.

Основные свойства пределов.

1) Предел пост величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих ф-й:

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произв двух функций равен произв пределов этих ф-й:

5) Предел частного 2х функций=отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Первый и второй замечательные пределы.

1 з.п – называется предел вида (Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.)

2 з.п – назыв предел вида