5 Билет

Матрицы и действия над ними.

Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, назыв-ся таблица чисел, располож в опред порядке. Эти числа назыв элементами матрицы. Место каждого элемента опред-ся номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

Основные понятия.

Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Едини́чная ма́трица — квадр матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Сложение матриц.

Суммой 2-х матриц а и в называется матрица с=а+в

Вычитание матриц.

Разностью 2-х матриц а и в называется матрица с=а-в

Умножение матриц.

Произв-е матрицы А на число называется матрица, элементы которой равны произ-ю числа на соотв элементы матрицы А.

Произв-е матрицы А на матрицу В назыв матрица С=А*В, элементы которой составляются след образом С=А*В = )

Элементы первой матрицы перемножаются с элементами столбцов 2 матрицы

Возведение матрицы в степень.

При возведении матрицы в степень

данная матрица умножается сама на себя

Транспонирование матрицы.

(Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номеромами.)

Матрица А^Т полученная из исходной А заменой строк на столбцы

^Т =

6 Билет

Вычисление определителей.

Рассмотрим кВ матрицу 2 порядка. Определитель тогда вычисляется по формуле О=а11*а22-а12*а21

Определение определителей второго и третьего порядка.

а11*а23*а32-а12*а21*а33

правилу треугольника(звездочки)

Теорема о разложении определителя по строке или столбцу.

Определитель равен сумме произв-я элементов какой-либо строки(столбца) на их алгебр дополнения

а11*А11+а12*А12+а13*А13+а11*А11+а21*А21+а31*А31

7 Билет Системы линейных уравнений.

СЛУ — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных.

Совместные и несовм системы линейных уравнений.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Однородной системой линейных

уравнений называется система, правая часть которой равна нулю.

Число r ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы называется рангом матрицы

Правило Крамера.

Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

где - определитель матрицы системы, - определитель матрицы системы, где вместо -го столбца стоит столбец правых частей.

8 Билет

Понятие функции.

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому знач х соотв-т единственное значение у.

Переменная х назыв аргументом.

Свойства функции:

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменнойx), при которых функция y = f(x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.