11.Предел функции основные теоремы предела

Предел : число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.( в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.)

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

   .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

   .

12. непрерывность функции в точке.Точки разрыва функции и их определение.

Непрерывность функции в точке.

 

            Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

 

Тот же факт можно записать иначе: 

 

            Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

 

Пример непрерывной функции:

 

 

                                                           y

 

                                               f(x₀)+

                                                  f(x₀)

                                               f(x₀)-

 

0  x₀-   x₀ x₀+                                  x

 

 

 

 

            Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство                                .

 

            Определение.  Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

 

f(x) = f(x₀) + (x)

где (х) – бесконечно малая при хх₀.

 

13. Определение функции непрерывной на отрезке. И ее свйства.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Т еорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x₁ Î [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x₁) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x₂, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x₁) ≤ f(x).

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x₂ и x₂'.

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

14. Производная функции ее геометрический и механический смысл. Связь между дифференцируемостью и не прерывностью функции.

15.Производные элементарных функций. Основные правила дифференцирования.

16. Дифференциал функции и его использование в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.

Таким же важным, как и понятие производной в математическом анализе, является и

понятие дифференциала функции.

Вернемся к определению производной: (предел отношения бесконечно

малого приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента).

Мы знаем, что переменная величина, имеющая предел, может быть представлена в виде

суммы этого предела и бесконечно малой: где α - бесконечно малая (1)

Отсюда имеем, Эта формула определяет связь между приращением ∆y всякой дифференцируемой

Функции y=f(x) и приращением ее аргумента ∆x.

Величина α - бесконечно мала одновременно с

Поэтому, второе слагаемое α⋅∆ x будет бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆x

(как произведение двух бесконечно малых ∆x и α); в то же время, как первое слагаемое

y

/∆x будет бесконечно малой того же порядка, что и ∆x (если только y

/≠0 при данном

значении аргумента x). Таким образом, формула определяет бесконечно малое

приращение ∆y дифференцируемой функции y (при y

/≠0) в виде суммы двух слагаемых:

одного (y/⋅∆ x) – того же порядка малости, что и ∆x; другого (α⋅∆ x) – более высокого

порядка малости. Поэтому первое слагаемое y/⋅∆ x будет главной частью приращения

функции ∆y.

Определение. Эту главную часть приращения функции, пропорциональную приращению

аргумента, называют дифференциалом функции и обозначают символом dy: dy=y/⋅∆ x(2)

Применив эту формулу к функции y=x, получим dy=dx=1⋅∆ x=∆x.Поэтому, естественно

под дифференциалом аргумента функции понимать приращение dx=∆x, то есть под

символом dx понимают и приращение аргумента, и дифференциал функции, равной

аргументу. Теперь, формулу (2) можно записать dy=y/dx (3), а формулу (1) в виде∆y=y/ dx+α⋅ dx (4).

17.Возрастание и убывание функции. Исследование с помощью производной

Возрастание и убывание функций.

 

            Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

                              2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

 

            Доказательство.

1)      Если функция f(x) возрастает, то f(x + Dx) > f(x) при Dx>0 и f(x + Dx) < f(x) при Dх<0,

тогда:

 

2) Пусть f¢(x)>0 для любых точек х₁ и х₂, принадлежащих отрезку [a, b], причем x₁<x₂.

           

            Тогда по теореме Лагранжа: f(x₂) – f(x₁) = f¢(e)(x₂ – x₁),   x₁ < e < x₂

По условию f¢(e)>0, следовательно, f(x₂) – f(x₁) >0, т.е. функция f(x) возрастает.