22 (1). Правило составления уравнений Колмогорова
Общее правило составлений уравнений Колмогорова: в левой части каждого уравнения стоит произведение вероятности какого-нибудь i-го состояния. В правой части сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние умноженное на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из этого состояния, умноженное на вероятность данного i-го состояния.
Заменяя левые части в уравнениях нулями, получим систему линейных алгебраических уравнений, в которых неизвестными является финальные вероятности. Под финальной вероятностью понимают предел, к которому стремится функция pi(t)
Финальную вероятность состояния zi можно толковать как среднее относительное время пребывание системы в этом состоянии
Пример: техническое устройство состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего, практически мгновенно, начинается ремонт узла, который продолжается заранее известное время.
С
оставим
размеченный граф переходов:
Возможные состояния:
z0 – оба исправны.
z1 – первый ремонтируется, второй исправен.
z2 – второй ремонтируется, первый исправен.
z3 – оба ремонтируются.
Интенсивность потока отказов – это среднее число отказов на единицу времени.
Δni(t)
- число отказавших элементов за время
Δt;
n0(t)
- число исправных элементов к моменту
времени t;
λi
–интенсивность потока отказов, i=1,2;
μi
–интенсивность потока восстановления,
i=1,2
Pi(t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии zi
22 (2).
Дифференциальные
уравнения, в которых неизвестными
являются вероятности
pi(t)
называют
уравнениями
Колмогорова.
P0(t)
–
вероятность того, что в момент времени
t
система находится в состоянии
z0.
Дадим
малое приращение t+∆t
и найдём p0(t+∆t)
– вероятность того, что система будет
находиться в состоянии z0
в момент времени t+∆t.
1.
p0(t)[1-
]
λ- выводящие потоки.
-
вероятность того, что за время
система
выйдет из состояния z0.
2.
p1(t)
- Вероятность перехода системы из
состояния z1
в
состояние z0
за время
.
3.
p2(t)
- Вероятность перехода системы из
состояния z2
в
состояние z0
за время
.
p0(t+∆t)= p0(t)[1- ]+ p1(t) + p2(t)
Любое из этих уравнений можно отбросить и заменить на уравнение формировки p0+p1+p2+p3=1;Начальн условия p0(0)=1 p1(0)=p2(0)=p3(0)=0
23(1). Интерполирование зависимостей. Фундаментальный полином Лагранжа.
Интерполяция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Интерполяция часто выполняются по некоторой скрытой, но подразумеваемой зависимости. Например, если узловые точки функции соединить отрезками прямых, то будем иметь многоинтервальную линейную интерполяцию данных. Если использовать отрезки параболы, то интерполяция будет параболической.
t
y=a+bt+c
Лагранж привязал эту функцию точно к узлам (т.е. линия проходит через вершины, а между ними - плавно).
x1 x2 x3
y1 y2 y3
L(x)=φ1(xxi)y1+ φ2(xxi)y2+ φ3(xxi)y3
x=x1→
;
x=x2→
;
x=x3→
;
Построим функцию:
23(2).
L(x)=
+ 
+ 
φ1(x1x)
φ2
(x2x)
φ3
(x3x)
Функция нечетная (ее можно заменить на др. нечетную функцию)
Можно подставить тангенс tg, но он может разорваться.
L(x)=Ψ1(xiyi)x2+ Ψ2(xiyi)x+ Ψ3(xiyi).
L(x)=ax2+bx+c