18 (1). Некоторые положения теории случайных процессов. Корреляция.

С лучайный процесс – это некая функция x(t) от времени, которая может принимать непредсказуемые значения.

Процесс называется стационарным, если все его характеристики вероятностные, постоянные и не зависят от времени (в широком смысле).

В узком смысле, - если одна или несколько характеристик являются постоянной и не зависят от времени.

Для исследования характеристик процесса изучают функцию распределения (плотности).

f(x1,x2,t1,t2) = f(x1,t2,τ)

нормированная корреляционная функция

Корреля́ция — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин.

18 (2).

Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.

Корреляция может быть положительной и отрицательной (возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для независимых случайных величин). 

Отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффициент корреляции отрицателен. 

Положительная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной, при этом коэффициент корреляции положителен.

Автокорреляция — статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса — со сдвигом по времени.

Метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции) между переменными, называется корреляционным анализом.

19. 20.(1) Установление зависимостей. Линейная регрессия. Квадратическая регрессия (теория для регрессии общая).

Анализ статистических данных позволяет выявить взаимосвязь

исследуемых явлений. При этом наблюдаются два вида связи:

причинно-следственные отношения (изменения в одном явлении

являются причиной изменений в другом) и корреляция (изменения в обоих явлениях происходят одновременно и вызваны общей

причиной). Корреляционная зависимость выглядит как разброс точек относительно линии на диаграмме рассеяния. Модель взаимосвязи отражает количественные отношения и строится методами корреляционного и регрессионного анализа. Корреляционный анализ позволяет исследовать тесноту связи, т.е. степень разброса точек от линии. Регрессионный анализ позволяет построить уравнение связи.

Соответственно, прямая – линейная регрессия, парабола – квадратическая регрессия.

19. 20. (2)

21 (1). Модели теории массового обслуживания. Основные положения.

Имеются обслуживающие каналы, объединенные в некую систему, на вход поступает поток заявок от некоторых источников. Заявки могут становиться в очередь на обслуживание, если к моменту прихода заявок все каналы заняты. Время обслуживания каждой заявки является случайно величиной подчиненной некоторому закону.

Если потоки простейшие, то система называется простейшей системой массового обслуживания.

Источники:

А) Замкнутые – с конечным числом заявок;

Б) Разомкнутые – бесконечным числом заявок.

Если замкнутые источники, то заявки, как-то возвращаются после отработки. А при разомкнутых, работа не зависит от работы обслуживающей системы.

Если заявки не могут ждать в очереди, то они получают отказ. Ожидание может быть ограниченным и неограниченным.

По разновидностям СМО бывают: одноканальные и многоканальные.

По очереди: с общей очередью, с несколькими очередями.

По дисциплине: FIFO, LIFO, с приоритетом.

Свойства потоков:

1) Стационарность означает, что характеристики потока не зависят от времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем

21 (2).

должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных перио­дов времени, к примеру, в начале и в конце декады. Интенсивность потока – это среднее число событий приходящих в единицу времени.

; Δn_i(t) - число отказавших элементов за время Δt; n₀(t) - число исправных элементов к моменту времени t; λ_i –интенсивность потока отказов, i=1,2; μ_i –интенсивность потока восстановления, i=1,2

2) Ординарность означает, что вероятностью наступления двух и более событий в течение малого интервала времени Δt можно пренебречь.

3) Отсутствие последействия, которое обуславливает взаимную не­зависимость поступления того или иного числа требований на обслужи­вание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от чис­ла требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Напри­мер, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день ме­сяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

Поток отказов, который удовлетворяет трем названным условиям называют простейшим потоком отказов. Если все потоки событий (отказов или восстановлений) переводящих систему из одного состояния в другое – простейшие, то протекающий в системе процесс будет Марковским.