Вопрос 8. Дискретные случайные величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять любые заранее неизвестные значения. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется такая, значения которой есть конечное или счетное множество фиксированных величин. Для описания поведения дискретной случайной величины X задают все значения x1, x2, …,xn, которые она может принять, и вероятности появления этих значений p1, p2, …, pn.

Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем

Ряд распределения можно задать графически, откладывая на горизонтальной оси значения X, а на вертикальной – соответствующие им значения вероятностей. Графическое представление ряда распределения называется многоугольником распределения.

Для дискретной случайной величины можно ввести понятие функции распределения F(x), которая равна вероятности случайного события, состоящего в том, что дискретная случайная величина X примет одно из возможных значений, меньших некоторого значения х, т.е. F(x)=P(X<x).

Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке x1, x2, …, xn, то F(x) можно задать в виде

Функцию распределения можно представить графически в виду ступенчатой функции

Вопрос 9. Математическое ожидание

- среднее значение, случайной величины - числовая характеристика распределения вероятностей случайной величины.

М(х) = – дискретная случайная величина, если p = (все вероятности равны),

то M(x) =

M(x) = – непрерывная случайная величина

Свойства математического ожидания:

1. М(С)=С, С=const

M(C) = = c = c

2. M(XC) = C*M(X)

M(XC) = = c = C*M(X)

3. Суммой 2-х случайных величин называется случайная величина, принимающая значения с вероятностями , где вероятность значений Х = , а вероятность У =

M(X±Y) = M(X) ± M(Y)

4. Произведение двух независимых случайных величин Х и У равно произведению их математических ожиданий.

М(Х*У) = М(Х)*М(У)

М(Х*У) = М(Х)*М(У)=0 (только для независимых величин)

Вопрос 10. Дисперсия

– математическое ожидание квадрата разности между случайными величинами и ее математическим ожиданием.

D(X) =

Свойства дисперсии:

1. D(C)=0

D = = = M(0) = 0

2. D (CX) = D(X)

D(CX) = = = = D(X)

3. D(X) = M( ) -

D(X) = = M( – 2X*M(X) + (x)) = M( ) – 2M(x)*M(x) + (x) = M( ) - 2 x + x = M( ) -

4. D(X±Y) = D(X) ± D(Y)

Вопрос 11. Непрерывные случайные величины.

Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:   

   Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х.     Формула (19) и свойства 1° и 2° справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины.     Случайная величина   называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция*  , удовлетворяющая для любых значений x равенству

(22)

   Функция   называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если x1<x2, то на основании формул (20) и (22) имеем

(23)

   Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств   равна площади криволинейной трапеции с основанием [x1,x2], ограниченной сверху кривой   (рис. 6).

   Так как  , а на основании формулы (22)   

   , то

(24)

   Пользуясь формулой (22), найдем   как производную интеграла по переменной верхней границе, считая плотность распределения   непрерывной**:

(25)

   Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х) непрерывна в любой точке х, где функция   непрерывна. Это следует из того, что F(х) в этих точках дифференцируема.     На основании формулы (23), полагая x1=x,  , имеем   

   В силу непрерывности функции F(х) получим, что   

   Следовательно   

   Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю.     Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств   

 ,   ,   , 

   Имеют одинаковую вероятность, т.е.   

   В самом деле, например,   

   так как       Замечание. Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При классическом определении вероятности, когда число исходов испытания конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания. В случае непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значениеx1 как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате испытания случайная величина может, в частности, принять значение x1. Поэтому в случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение.     Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска.     Пример. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:   

   График функции   представлен па рис. 7. Определить вероятность того, что случайная величина   примет значение, удовлетворяющее неравенствам  .Найти функцию распределения заданной случайной величины. (Решение)

   Следующие два пункта посвящены часто встречающимся на практике распределениям непрерывных случайных величин — равномерному и нормальному распределениям.