Вопрос 3. Теорема сложения вероятностей.

События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте. Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу. Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий. Сложение вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице. Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из рассматриваемых событий. Вероятность событий В, вычисленная при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В относительно события А. Эта вероятность обозначается Р(В/А). Сложение вероятностей двух совместных событий. Вероятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Вопрос 4. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого:

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В)

Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:

Р(АВС…LM)=P(A)P(B/A)P(C/AB)…P(M/AB…L)

Если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого, то такие события называются независимыми. Для независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий. Для двух независимых событий

Р(АВ)=Р(А)Р(В)

События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыте.

ВПОРОС 5 Формула полной вероятности

Предположим, что событие   может осуществляться только с одним из несовместных событий  . Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий в разном количестве. Существует разная вероятность выпуска некачественной продукции на разных предприятиях. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие  ). Здесь события  — это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

В этом случае вероятность события   можно рассматривать как сумму произведений событий

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем

Используя теорему умножения вероятностей, находим

 

Вопрос 6 Формула Байеса

Пусть событие   происходит одновременно с одним из   несовместных событий  . Требуется найти вероятность события  , если известно, что событие   произошло.

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать

Откуда

Вопрос 7. Формулы Бернулли и Пуассона

Если при проведении испытаний вероятность появления события А не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно m раз события А в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно p:

, где

,

В рядах случаев требуется определить вероятности появления события А менее m раз (X<m), более m раз(X>m), не менее m раз (X>=m), не более m раз (X<=m). В этих случаях могут быть использованы формулы:

P(X<m) = Pn(0) +Pn(1) + … + Pn(m-1)

P(X>m) = Pn(m+1) +Pn(m+2) + … + Pn(n)

P(X>=m) = Pn(m) +Pn(m+1) + … + Pn(n)

P(X<=m) = Pn(0) +Pn(1) + … + Pn(m)

При больших n и малых p вычисления по формуле Бернулли затруднены. В этих случаях обычно используется формула Пуассона

,