2.3. Момент пары сил

Вектор момента пары сил   направлен перпендикулярно плоскости действия пары сил в ту сторону, откуда вращение тела парой сил наблюдается происходящим против часовой стрелки (рис. 2.2).

Модуль момента пары сил равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо, т. е.  .

Рис. 2.2. Момент пары сил

 

  Рис. 2.3. Проекции векторного момента  пары сил на оси координат

Векторный момент   пары сил, произвольно расположенный в декартовой системе координат  , может быть представлен в разложении по этим осям координат (рис. 2.3),  , где       – проекции векторного момента   на соответствующие оси координат.

Векторный момент пары сил, расположенный в одной из координатных плоскостей, или ей параллельной, следует приложить в цент­ре  , направив вдоль соответствующей оси в сторону, откуда вращение тела парой сил представляется против часовой стрелки (рис. 2.4). Так      , где       – модули моментов соответствующих пар сил.

Билет 4 сучка

1. Главный вектор и главный момент системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

Главный вектор и главный момент плоской системы сил

Р ассмотрим плоскую систему сил (F₁, F₂, ..., F_n),действующих на твердое тело в координатной плоскости Oxy.

Главным вектором системы сил называется вектор R, равный векторной сумме этих сил:

R = F₁ + F₂ + ... + F_n =   F_i.

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L_O, равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L_O = M_O(F₁) + M_O(F₂) + ... + M_O(F_n) =   M_O(F_i).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L_O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Для плоской системы сил вместо векторного главного момента используют понятие алгебраического главного момента. Алгебраическим главным моментом L_O плоской системы сил относительно центра О, лежащего в плоскости действия сил, называют сумму алгебраических моментов этих сил относительно центра О.

Главный вектор и главный момент плоской системы сил обычно вычисляется аналитическими методами.

Пример

В аналитическом методе для вычисления главного вектора и главного момента используются проекции сил F_ix, F_iy и координаты x_i, y_iточек их приложения.

Модуль R главного вектора плоской системы сил и его направляющие косинусы e_x, e_у вычисляются по следующим формулам:

R = (R_х + R_y)  ; e_x = R_x / R; e_y = R_у / R; R_x =   F_ix; R_y =   F_iy.

Здесь в суммировании проекций можно не включать силы, образующие пары сил (F_k, F'_k), F_k = -F'_k, поскольку суммы проекций таких двух сил на любую ось равны нулю.

Алгебраический главный момент L_O плоской системы сил относительно центра O ( начала координатных осей ) вычисляется по формуле:

L_O =   (x_i F_iy - y_i F_ix) +   M_k.

Здесь во вторую сумму выделены алгебраические моменты M_k пар сил (F_k, F'_k).

В случаях, когда плечи h_i всех сил определяются достатосно просто ( например, если силы параллельны координатным осям Ox и Oy ), величина L_O может быть вычислена по формуле:

L_O =   ± F_i h_i +   M_k.

ТЕОРЕМА:

Момент равнодействующей силы относительно любой точки на

плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих сил

относительно той же точки.

Определим момент равнодействующей силы R, приложенной в

точке К, относительно произвольно выбранного центра приведения

О.

Мо(R)=Rh, но R=R* и h=M*/R*

Тогда

Мо(R)=R*/M*R*=M=M1o+M2o+…+Mno

Что и требовалось доказать…

Билет 5 сучка