2.2.Первичная статистическая совокупность, её упорядочение

Если наблюдаемая случайная величина Х дискретна, то статистическим аналогом ряда распределения является статистический ряд, полностью аналогичный ряду распределения случайной величины Х, с той разницей, что вместо вероятностей в нём стоят частоты соответствующих событий: . На этом вопросе мы больше не будем останавливаться. Гораздо сложнее (и чаще на практике встречается) задача обработки опытов над непрерывной случайной величиной Х. Первым этапом является описание результатов серии из n независимых опытов, в каждом из которых зарегистрировано значение непрерывной случайной величины Х, и простейшей обработкой этих результатов.

Первым документом полевых измерений является протокол, в котором зарегистрировано значение непрерывной случайной величины и номер опыта k.Такой протокол называют первичной статистической совокупностью. Этот материал является совершенно необработанным.

Пример

Измерено n=100 сопротивлений определённого вида. В таблице 2.1 приведены: номер опыта k и соответствующее значение сопротивления (в Омах).

Рассмотрение и осмысление таблицы такого типа (особенно при большом числе n) затруднительно, и по ней практически нельзя представить себе характер случайной величины Х. Первый этап обработки полученных материалов – это упорядочение полученных данных, расположение в порядке возрастания значений случайной величины. Протокол результатов опыта, в котом они перенумерованы и расположены в порядке возрастания, называют упорядоченной статистической совокупность или вариационным рядом.

Определение 2.5. Вариационным рядом называется последователь­ность всех элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке. Одинаковые элементы повторяются.

Запись вариационного ряда: x₍₁₎,x₍₂₎,…,x_(n). Элементы вариационного ряда называются порядковыми статистиками. Минимальный и максимальный элементы называются крайними, иначе - экс­тремальными элементами вариационного ряда: x _min =x_(1). x _max=x_(n). (2.2)

Разность между максимальным и минимальным элементами называется разма­хом, или широтой выборки: R = x_max-x_min. (2.3)

Определение 2.6. Средний элемент вариационного ряда, если n - нечет­ное, или полусумма двух средних элементов, если п - четное, называется медианой выборки и обозначается теd:

med= x_(l+1) при т=2l+1; med=(x_(l)+x_(l+1))/2 при n=2l. (2.4)

Определение 2.7. Элементы вариационного ряда, на четверть отстоящие от краёв, называются соответственно нижней и верхней квартилями и обозначаются z_1/4 и z_3/4.

Математически квартили определяются по формулам:

z_1/4=x_(i); z_3/4=x_(n-i+1), где i=[n/4]+1 при n/4 дробном, n/4 при n/4 целом (2.5)

[a]-целая часть числа а, наибольшее целое число, не превосходящее а.

Числа x_min, z_1/4, med, z_3/4, x_max дают сжатую информацию о выборке, а значит и о генеральной совокупности. Они могут быть изображены в виде так называемого ящика с усами.

Определение 2.8. Статистическим рядом называется последовательность элементов z_i вариационного ряда с указанием частот n_i повторения элементов

Статистический ряд может быть получен из вариационного ряда и записан в виде таблицы или графически в виде полигона (многоугольника), откладывая по оси абсцисс элементы статистического ряда, а по оси ординат – частоты (или относительные частоты). Полученные точки на плоскости соединяются отрезками. Полигон частот (или относительных частот) даёт хорошее представление о распределении частот в выборке. Элемент, соответствующий наибольшей частоте по сравнению с соседними элементами статистического ряда, называется выборочной модой (mod).

В таблице 2.1 приведён пример первичной статистической совокупности, а в таблице 2.2 приведены те же данные, что в таблице 2.1, но расположенные в порядке возрастания значений случайной величины Х. Здесь номер значения обозначен i (в отличие от номера опыта k). Если в таблице 2.2 одно и то же значение встречается несколько раз, его пишут столько раз, сколько оно встретилось.

Таблица 2.1 Первичная статистическая совокупность

k	xk	k	xk	k	xk	k	xk	k	xk
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	87 85 91 94 102 80 75 102 99 101 100 120 122 101 88 80 97 92 91 94	21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	82 111 115 99 96 101 115 100 97 91 87 116 121 101 123 97 95 88 104 111	41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60	88 90 101 95 93 92 88 94 98 99 102 101 122 99 97 95 105 112 116 118	61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80	108 95 99 92 100 118 103 102 89 90 94 106 112 122 100 92 93 82 111 102	81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100	84 105 110 102 104 107 120 108 107 98 96 106 110 115 95 109 111 103 88 108

Таблица 2.2 Упорядоченная статистическая совокупность

k		k		k		k		k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20		21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40		41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60		61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80		81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100