Линеаризация уравнений звена

При линеаризации звена нелинейные связи заменяют приближенными линейными, чтобы облегчить процесс исследования регулирования. Естественно, что всякое упрощение при составлении уравнений и их линеаризацией приводит к описанию, неполно отражающему связи переменных, но практически этого во многих случаях оказывается достаточно.

Линеаризация нелинейного дифференциального уравнения основывается на предположении о достаточной малости отклонений всех переменных звена от их установившихся состояний. Это объясняется тем, что замкнутая АС, работающая на принципе отклонений, стремится уменьшить всякие отклонения переменных от требуемых значений.

Если переменные x, f, y в статическом режиме характеризуются установившимися значениями х_О = const; f_O = const; у_О = const, то в динамическом режиме эти переменные можно представить в виде

х(t) = x_O + Δх(t); f(t) = f_O + Δf(t); у(t) = у_О + Δy(t).

То есть для того, чтобы узнать какие значения будут иметь переменные достаточно знать их значения до изменений и знать величину этих изменений. Для этого с достаточной точностью необходимо знать только коэффициенты дифференциального уравнения, связывающего не сами переменные, а только их приращения. Причём если переменные связаны нелинейными уравнениями, то переход к приращениям позволяет перейти к линейным уравнениям, связывающим приращения этих переменных.

Такой переход, безусловно, является приближенным, так как не учтены малые величины высшего порядка, описывает динамический процесс лишь в малой окрестности установившихся значений переменных (x_O, у_О, f_O), а не во всей области их изменений и является линейным лишь относительно отклонений переменных.

Принцип суперпозиции

Существенное упрощение при изучении линейных систем состоит в том, что к ним применим принцип суперпозиции (принцип наложения). В соответствии с этим принципом общая реакция (изменение выходной величины) звена (системы) на несколько входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие отдельно. При этом математическое описание звена будет одно и то же для всех воздействий.

Принцип суперпозиции позволяет ограничиться изучением реакции звена только на простые возмущения, а реакцию на сложные возмущения изучать как сумму реакций на простые. Чаще всего в качестве простых возмущений используют два вида воздействий: гармоническое колебание и скачок.

Передаточные функции звеньев.

Для статических звеньев или систем в целом выходная величина у может быть выражена через входную величину х в виде функциональной зависимости у = φ(х). Математическое описание динамической системы осуществляется дифференциальным уравнением. Например, дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (при f = 0). Введя оператор дифференцирования, получим символическую запись уравнения:

α_Оpⁿy ₊ ... ₊ α_nу = b_O p^m x + ... + b_mx .

Вынеся у и х за скобки получаем:

у(α_Оpⁿ ₊ ... ₊ α_n) = х(b_O p^m + ... + b_m) .

Откуда

у = х [ ] .

Выражение в квадратных скобках называется передаточной функцией W(p) звена (системы). С помощью передаточной функции получается самая простая форма записи дифференциального уравнения:

у = W(p) х .

W(p) не имеет физического смысла. Это "функция" от оператора р. Но эта функция позволяет очень просто решать практические задачи и характеризует динамические и статические звенья (системы).

Сложные АСУ и САР можно представить в виде соединения элементарных (типовых) звеньев, которые описываются простейшими передаточными функциями. По виду передаточных функций (или дифференциальных уравнений) и различают типы звеньев АСУ и САР. Основными типами звеньев являются позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.

Знание характеристик типовых звеньев столь же необходимо для расчетов систем управления, как знание таблицы умножения в арифметике.